Chuyên đề vectơ và hệ trục toạ độ trong không gian Toán 12 chương trình mới

GV. Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716

1

Chương 2. VECTƠ VÀ HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI

Định nghĩa: Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

Chú ý: Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, đối với vectơ trong không gian ta cũng có các kí hiệu và khái

niệm sau:

Vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là B được kí hiệu là AB .

Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ thì vectơ còn được kí hiệu là , , , , a b x y 

Độ dài của vectơ AB được kí hiệu là AB , độ dài của vectơ a được kí hiệu là a

Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó (Hình 1).

Hình 1. Đường thẳng d là giá của vectơ a

Tương tự như trường hợp của vectơ trong mặt phẳng, ta có các khái niệm sau đối với vectơ trong không gian:

Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.

Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.

Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau, kí hiệu a b = , nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

Chú ý: Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, ta có tính chất và các quy ước sau đối với vectơ trong không gian:

C

H

Ư

Ơ

N

G

2

VECTƠ VÀ HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 01 BÀI

LÝ THUYẾT CẦN NHỚ A

1 Vectơ trong không gian

GV. Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716

2

Chương 2. VECTƠ VÀ HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI

Trong không gian, với mỗi điểm O và vectơ a cho trước, có duy nhất điểm M sao cho OM a =

Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ví dụ như , , AA BB  gọi là các vectơ-không.

Ta quy ước vectơ không có độ dài là 0, cùng hướng (và vì vậy cùng phương) với mọi vectơ.

Do đó, các vectơ không đều bằng nhau và được kí hiệu chung là 0 .

a) Tổng của hai vectơ trong không gian

Trong không gian, cho hai vectơ a và b . Lấy một điểm O bất kì và các điểm A , B sao cho OA a = và

AB b = . Khi đó, vectơ OB được gọi là tổng của hai vectơ a và b , ký hiệu là a b + .

Trong không gian, phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.

Nhận xét: Quy tắc ba điểm và quy tắc hình bình hành trong mặt phẳng vẫn đúng trong không gian:

Quy tắc ba điểm: Nếu , , A B C là ba điểm bất kì thì AB BC AC + =

Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì AB AD AC + =

Quy tắc hình hộp chữ nhật: Cho hình hộp . ABCD A B C D . Ta có AB AD AA AC   + + = .

Hệ thức tương tự: BA BC BB BD   + + =

Chú ý: Tương tự như phép cộng vectơ trong mặt phẳng, phép cộng vectơ trong không gian có các tính chất sau:

Tính chất giao hoán: Nếu a và b là hai vectơ bất kì thì a b b a + = + .

2 Tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian

GV. Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716

3

Chương 2. VECTƠ VÀ HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI

Tính chất kết hợp: Nếu ,a b và c là ba vectơ bất ki thì ( ) ( ) a b c a b c + + = + + .

Tính chất cộng với vectơ 0 : Nếu a là một vectơ bất kì thì 0 0 a a a + = + = .

Từ tính chất kết hợp của phép cộng vectơ trong không gian, ta có thể viết tổng của ba vectơ ,a b và c là

a b c + + mà không cần sử dụng các dấu ngoặc. Tương tự đối với tổng của nhiều vectơ trong không gian.

b) Hiệu của hai vectơ trong không gian

Vectơ đối: Trong không gian, vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ a được gọi là vectơ đối của

vectơ a

Vectơ đối của a kí hiệu là a −

Vectơ đối của AB là BA , nghĩa là AB BA − = (dùng để làm mất dấu trừ trước vectơ)

Vectơ 0 được coi là vectơ đối của chính nó

Định nghĩa: Trong không gian, cho hai vectơ a , b . Ta gọi ( ) a b + − là hiệu của hai vectơ a và b và kí

hiệu là a b − . Phép lấy hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ.

Nhận xét:

Với ba điểm , , O A B bất kì trong không gian thì ta có OB OA AB − = .

Hai vectơ a và b đối nhau thì 0 a b + =

Trong không gian, tích của một số thực 0 k  với một vectơ 0 a  là một vectơ, kí hiệu là ka , được xác định như sau:

Cùng hướng với vectơ a nếu 0 k  ; …