Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - Trần Quốc Nghĩa

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm và biên tập 1

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Vấn đề 1. TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1. Định nghĩa:

Hàm số f xác định trên khoảng (đoạn hoặc nửa khoảng) K và 1 2 , x x K  .

 Hàm số f gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu    1 2 1 2 x x f x f x    .

 Hàm số f gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu    1 2 1 2 x x f x f x    .

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu:”

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K .

 Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì  0, f x x K    .

 Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì  0, f x x K    .

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:

Giả sử hàm số  y f x  có đạo hàm trên khoảng K .

 Nếu  0, f x x K    thì hàm số đồng biến trên khoảng K .

 Nếu  0, f x x K    thì hàm số nghịch biến trên khoảng K .

 Nếu  0, f x x K    thì hàm số không đổi trên khoảng K .

 Chú ý.

 Nếu K là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “ Hàm số

 y f x  liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”. Chẳng hạn: Nếu hàm số

 y f x  liên tục trên đoạn   ;a b và có đạo hàm    0, ; f x x a b    thì hàm

số đồng biến trên đoạn   ;a b .

 Nếu  0, f x x K    ( hoặc  0, f x x K    ) và  0 f x   chỉ tại một số

điểm hữu hạn của K thì hàm số đồng biến trên khoảng K (hoặc nghịch biến trên khoảng K ).

Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Tập xác định  Tính y

 Cho 0 y

 Lập bảng biến thiên  Kết luận  Chú ý:

 Đối với hàm số nhất biến, không cho 0 y (Vì y luôn dương hoặc luôn âm với mọi x

thuộc tập xác định).

 Dấu của tam thức bậc hai:    2 0 0 P x ax bx c a      .

1 Chủ đề

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 2

 Nếu  0 P x  có hai nghiệm thì  P x “Trong trái ngoài cùng”.

 Nếu  0 P x  có nghiệm kép thì  P x luôn cùng dấu với a . Với mọi x khác nghiệm

kép)

 Nếu  0 P x  vô nghiệm thì  P x luôn cùng dấu với a . (Với mọi x)

B. TOÁN MẪU

Ví dụ 1. Xét tính đơn điệu của hàm số 3 2 3 2 y x x    .

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

Ví dụ 2. Xét chiều biến thiên của hàm số 3 2 3 3 1 y x x x    …