Hướng dẫn giải các dạng toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Đặng Việt Đông

ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT

I. Định nghĩa. Giả sử hàm số xác định trên tập K . Khi đó:

a) Nếu tồn tại một điểm sao cho thì số được gọi là giá trị

lớn nhất của hàm số trên K. Kí hiệu: .

b) Nếu tồn tại một điểm sao cho thì số được gọi là giá trị

nhỏ nhất của hàm số trên K. Kí hiệu: .

II. Nhận xét. 1.Như vậy để có được M (hoặc m) là giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của hàm số trên K ta phải chỉ ra được : a) ( hoặc ) với mọi .

b) Tồn tại ít nhất một điểm sao cho ( hoặc ).

2. Chú ý khi nói đến giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số (mà không nói rõ “trên tập K’’) thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên tập xác định của nó. 3. Mỗi hàm số liên tục trên đoạn thì đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.

Hơn nữa a) Nếu hàm số đồng biến trên đoạn thì và .

b) Nếu hàm số nghịch biến trên đoạn thì và .

4. Cho phương trình  f x m  với  y f x  là hàm số liên tục trên D thì phương trình có nghiệm khi

  D D min f x m max f x  

5. Một hàm số có thể đồng thời đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên một tập K hoặc chỉ đạt được giá trị nhỏ nhất hoặc chỉ đạt được giá trị lớn nhất hoặc không tồn tại cả hai giá trị này. Chẳng hạn:

a) Xét hàm số bậc hai trên tập xác định .

+ Khi thì hàm số có đạt được giá trị nhỏ nhất tại đồng thời bằng giá trị cực tiểu của hàm

số tại .

+ Khi thì hàm số có đạt được giá trị lớn nhất tại đồng thời bằng giá trị cực đại của hàm

số tại .

b) Xét trên tập hàm số bậc ba không tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

f    K 

 0 x K      0 , f x f x x K    0 M f x

f   max x D M f x

 0 x K      0 , f x f x x K    0 m f x

f   min x D m f x

f

 f x M  f x m  x K

 0 x K   0 f x M   0 f x m

f

    ;a b

f     ;a b     max x D f x f b     min x D f x f a

f     ;a b     max x D f x f a     min x D f x f b

   2 y ax bx c  K 

0 a  2

b x a  2

b x a

0 a  2

b x a  2

b x a

 K      3 2 y ax bx cx d

ST và BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Phần Hàm số - Giải tích 12

File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay

c) Xét trên hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

d) Xét hàm số trùng phương trên tập xác định . + Khi thì hàm số đạt được giá trị nhỏ nhất đồng thời bằng giá trị cực tiểu của hàm số. + Khi thì hàm số đạt được giá trị lớn nhất đồng thời bằng giá trị cực đại của hàm số.

B – BÀI TẬP

DẠNG 1: GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN

Phương pháp: Cho hàm số  y f x  xác định và liên tục trên   a;b .

- Tính  f ' x , giải phương trình  f ' x 0  tìm nghiệm trên   a,b .

- Giả sử phương trình có 2 nghiệm   1 2 x ,x a,b  .

- Tính các giá trị       1 2 f a ,f b ,f x ,f x . So sánh chúng và kết luận.

Câu 1. Cho hàm số  y f x  liên tục và luôn nghịch biến trên   ;a b . Hỏi hàm số  f x đạt giá trị lớn nhất tại điểm nào sau đây ?

A. x a  . B. x b  . C. 2 a b x   . D. 2 b a x   .

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A. Ta có: ( ) y f x  liên tục và luôn nghịch biến trên   ;a b   ; x a b  thì ( ) ( ) ( ) f b f x f a   .

Suy ra hàm số ( ) y f x  đạt giá trị lớn nhất tại điểm x a  .

Câu 2. Giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 12 2 y x x    trên đoạn   1;4 là

A. 13. B. 2. C. -14. D. 18. Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án C.

Ta có 2 3 12   y x . Cho 2 2 0 3 12 0 2

       

x y x x . Do   4 1;  x nên 2  x .

   , …