Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến tính đơn điệu của hàm số

CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN XÉT

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

(chuyên đề gồm 106 trang)

ĐỀ CƯƠNG CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN TRONG CHƯƠNG HÀM SỐ

- Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét tính đơn điệu của hàm số

- Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán tìm cực trị của hàm số

- Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số

- Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán tìm tiệm cận của hàm số

- Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số

- Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình.

- Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến bài toán xét sự tương giao của đồ thị hai hàm số.

- Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến phép biến đổi đồ thị

PHẦN A - CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

( ) y f x = PHẦN 1: Biết đặc điểm của hàm số

Dạng toán 1. Các bài toán về tính đơn điệu của hàm ẩn bậc 2 (dành cho khối 10)

Câu 1: Cho parabol ( ) P : ( ) 2 y f x ax bx c = = + + , 0 a ≠ biết:( ) P đi qua (4;3) M , ( ) P cắt Ox tại

(3;0) N và Q sao cho INQ ∆ có diện tích bằng 1 đồng thời hoành độ điểm Q nhỏ hơn 3

. Khi đó hàm số ( ) 2 1 f x − đồng biến trên khoảng nào sau đây

A. 1 ; 2   +∞    

. B. ( ) 0;2 . C. ( ) 5;7 . D. ( ) ;2 −∞ .

Lời giải

Chọn C

Vì ( ) P đi qua (4;3) M nên 3 16 4 a b c = + + (1)

Mặt khác ( ) P cắt Ox tại (3;0) N suy ra 0 9 3 a b c = + + (2), ( ) P cắt Ox tại Q nên

( ) ;0 , 3 Q t t <

Theo định lý Viét ta có

3

3

b t a c t a

+ = −   = 

Ta có 1 . 2 INQ S IH NQ ∆ = với H là hình chiếu của ; 2 4 b I a a ∆   − −    

lên trục hoành

Do 4 IH a ∆ = − , 3 NQ t = −nên ( ) 1 1 . 3 1 2 4 INQ S t a ∆ ∆ = ⇔ − − =

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 3 3 2 2 8 3 3 3 3 2 4 t b c t t t t a a a a a +   ⇔ − − = ⇔ − − = ⇔ − =    

(3)

Từ (1) và (2) ta có 7 3 3 7 a b b a + = ⇔ = − suy ra 3 7 1 4 3 3 a t t a a − − + = − ⇔ =

Thay vào (3) ta có ( ) ( ) 3 3 2 8 4 3 3 27 73 49 0 1 3 t t t t t t − − = ⇔ − + − = ⇔=

Suy ra 1 4 3 a b c = ⇒ = −⇒ = .

Vậy ( ) P cần tìm là ( ) 2 4 3 y f x x x = = − + .

Khi đó ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 4 2 1 3 4 12 8 f x x x x x − = − − − + = − +

Hàm số đồng biến trên khoảng 3 ; 2   +∞    

.

Câu 2: Cho hai hàm số bậc hai ( ), ( ) y f x y g x = = thỏa mãn 2 ( ) 3 (2 ) 4 10 10 f x f x x x + − = − + ;

(0) 9; (1) 10; ( 1) 4 g g g = = − = . Biết rằng hai đồ thi hàm số ( ), ( ) y f x y g x = = cắt nhau tại

hai điểm phân biệt là , A B . Đường thẳng d vuông góc với AB tạo với hai trục tọa độ

một tam giác có diện tích bằng 36. Hỏi điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng d ?

A. ( ) 2;1 M − B. ( ) 1;9 N − C. ( ) 1;4 P D. ( ) 3;5 Q

Lời giải

Chọn B

Gọi hàm số 2 ( ) f x ax bx c = + + ta có 2 ( ) 3 (2 ) 4 10 10 f x f x x x + − = − +

2 2 2 3 (2 ) (2 ) 4 10 10 ax bx c a x b x c x x   ⇔ + + + − + − + = − +  

2 1 1

2 12 10 1 ( ) 1

12 6 4 10 1

a a

b a b f x x x

a b c c

= =     ⇔− − = − ⇔ = −⇒ = − +     + + = =  

.

Gọi hàm số 2 ( ) g x mx nx p = + + ta có (0) 9; (1) 10; ( 1) 4 g g g = = − = ra hệ giải được

2 2; 3; 9 ( ) 2 3 9 m n p g x x x = − = = ⇒ = − + + .

Khi đó tọa độ hai điểm A, B thỏa mãn hệ phương trình

2 2

2 2 1 2 2 2 2 3 11 2 3 9 2 3 9

y x x y x x y x y x x y x x

  = − + = − +   ⇔ ⇒ = +   = − + + = − + +    

Do đó đường thẳng AB: 1 11 : 3 3 3 y x d y x k = + ⇒ = − + . Đường thẳng d cắt hai trục tọa

độ tại ( ) 0; ; ;0 3 k E k F      

. Diện tích tam giác OEF là 1 6 6 2 3 k k k = ⇔ = ±

Vậy phương trình đường thẳng d là: : 3 6, -3 -6 d y x y x = − + = . Chọn đáp án B

Câu 3: Biết đồ thị hàm số bậc hai 2 ( 0) y ax bx c a = + + ≠ có điểm chung duy nhất với 2,5 y = −

và cắt đường thẳng 2 y = tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 1 −và 5. Tính P a b c = + +

.

A. 1. B. 0 . C. 1 −. D. 2 −. Lời giải

Chọn D

Gọi (P): ( ) 2 , 0 y ax bx c a = + + ≠ .

Ta có:

+) ( ) P đi qua hai điểm ( ) ( ) 1;2 ; 5;2 − nên ta có 2 4 25 5 2 2 5 a b c b a a b c c a − + = = −   ⇔   + …