Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa dấu trị tuyệt đối - Trần Minh Ngọc

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT- GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI

GV: Trần Minh Ngọc

Nhóm giáo viên tiếp sức Chinh phục kỳ thi THPT 2020

Trong đề tham khảo của Bộ GD lần 1 và lần 2, cũng như đề thi thử của các sở giáo dục, các trường phổ thông năm 2020 thường có bài toán liên quan đến GTLN-GTNN của hàm số chứa dấu trị tuyệt đối. Để giải quyết được các dạng toán này các em cần ghi nhớ bài toán tổng quát sau:

Bài toán tổng quát: Cho hàm số ( ) y f x = . Tìm GTLN-GTNN của hàm số trên đoạn [ ] ;a b

Phương pháp chung:

Bước 1: Tìm

[ ] ( ) [ ] ( ) ; ; max ; min . a b a b f x p f x q = =

Bước 2: Xét các khả năng

• Nếu [ ] ( )

[ ] ( ) { }

;

;

min 0 . 0 . max max ;

a b

a b

f x p q f x p q

 =  ≤ ⇒ = 

• Nếu 0 q >

[ ] ( )

[ ] ( )

;

;

min

max

a b

a b

f x q

f x p

 =  ⇒ = 

.

• Nếu 0 p <

[ ] ( )

[ ] ( )

;

;

min . max

a b

a b

f x p p

f x q q

 = = −  ⇒ = = − 

Chú ý công thức tính nhanh:

[ ] ; max ( ) 2 a b p q p q f x + + − = ;

[ ]

≤  =  + − − > 

;

0,nÕu . 0 min ( ) ,nÕu . 0 2

a b

p q f x p q p q p q

.

Tùy theo từng bài toán cụ thể mà ta áp dụng cho hợp lý nhất. Sau đây chúng ta sẽ áp dụng cho 3 dạng thường gặp nhất.

Dạng 1: Tìm tham số để

[ ] ( ) ( )

[ ] ( ) ( )

;

;

min

max

a b

a b

f x k k

f x k k

 ≤ ≥   ≤ ≥ 

.

Ví dụ mẫu 1: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị nhỏ

nhất của hàm số 4 2 | 2 | y x x m = − − trên đoạn [ 1;2] − bằng 2. Tổng tất cả các phần tử của S

bằng

A. 2 −. B. 7 . C. 14. D. 3.

Lời giải

Chọn B

Xét ( ) 4 2 2 f x x x m = − − trên đoạn [ 1;2] − có ( ) [ ] [ ] [ ]

3 1 1;2

4 4 0 0 1;2

1 1;2

x

f x x x x

x

= ∈−  ′ = − = ⇔ = ∈−  = −∈− 

.

Khi đó ( ) ( ) ( ) 0 ; 1 1; 2 8. f m f m f m = − ± = − − = − +

Suy ra:

[ ] ( ) 1;2 max 8 f x m − = − + và

[ ] ( ) 1;2 min 1. f x m − = − −

• Nếu ( )( ) 1 8 0 1 8 m m m −− − ≤ ⇔−≤ ≤ thì

[ ] ( ) 1;2 min 0 f x − = , không thỏa mãn đề bài.

• Nếu 1 0 1 m m − −> ⇔ < − thì

[ ] 1;2 min 1 1 y m m − = − − = − −

Khi đó ( ) 1 2 3 / . m m t m − −= ⇔ = −

Nếu 8 0 8 m m − + < ⇔ > thì

[ ] 1;2 min 8 8 y m m − = − + = −; khi đó ( ) 8 2 10 / . m m t m − = ⇔ =

Vậy tổng tất cả các phần tử của bằng 7 .

Ví dụ mẫu 2: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số

2 2 2 x mx m y x − + = − trên đoạn [ ] 1;1 − bằng 3. Tính tổng tất cả các phần tử của S .

A. 8 3 − . B. 5. C. 5 3 . D. 1 −.

Lời giải

Chọn D

Xét hàm số ( )

2 2 2 x mx m f x x − + = − trên [ ] 1;1 − có ( ) ( )

2 4 1 2 f x x ′ = − −

;

( ) [ ]

0 0 4 1;1

x f x x

=  ′ = ⇔= ∉− 

; ( ) ( ) ( ) 1 1 ; 0 ; 1 1 3 f m f m f m − = − − = − = − −.

Suy ra:

[ ] ( ) 1;1 max f x m − = − và

[ ] ( ) 1;1 min 1. f x m − = − −

• Nếu ( ) 1 0 1 0 m m m − − − ≤ ⇔−≤ ≤ ;

[ ] { } { } 1;1 max 1 ; 1; y m m m m − = − − − = + − .

Có hai khả năng 3 3

3 1 2

m m

m m

= − = −   ⇒   = + =  

, không thỏa mãn.

• Nếu ( ) 0 0 0 f m m = − < ⇔ > . Khi đó

[ ] 1;1 max 1 1 y m m − = − − = +

( ) 1 3 2 / m m t m ⇒ + = ⇔ =

• Nếu 1 0 m − −> 1 m ⇔ < −. Khi đó

[ ] ( ) ( ) 1;1 3 max 0 f x f − = = 3 m ⇔ = −.

Vậy có hai giá trị thỏa mãn là 1 2 3, 2 m m = − = . Do đó tổng tất cả các phần tử của S là 1 −.

Ví dụ mẫu 3: Cho hàm số 3 2 y x x x m = − − + với m∈. Có tất cả bao nhiêu số nguyên m

để

[1;3] min 3 y < ?

A. 21. B. 22 . C. 4 . D. 20 .

Lời giải

Chọn A

Xét hàm số ( ) [ ] 3 2 ; 1;3 f x x x x m x = − − + ∈ .

Ta có ( ) 2 3 2 1 0 f x x x ′ = − −=

[ ]

[ ]

1 1;3

1 1;3 3

x

x

= ∈  ⇔= − ∉ 

Ta có ( ) ( ) 1 1, 3 15 f m f m = − = + .

Suy ra

[ ] ( ) [ ] ( ) 1;3 1;3 min 1; max 15 f x m f x m = − = + .

• Nếu ( )( ) 1 15 0 15 1 m m m − + ≤ ⇔− ≤ ≤;

[ ] 1;3 min 0 3 y = < . Trường hợp này có 17 số nguyên

thỏa mãn.

• Nếu 1 0 1 m m −> ⇔ > ;

[ ] 1;3 min 1 3 1 4 y m m = −< ⇒< < . Trường hợp này có 2 số nguyên

thỏa mãn.