Các dạng bài tập trắc nghiệm VDC tính đơn điệu của hàm số

CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

BÀI 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

1. Định nghĩa

Cho hàm số f xác định trên khoảng (đoạn hoặc nửa khoảng) K .

* Hàm số f gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu     1 2 1 2 1 2 , ; x x K x x f x f x      .

Nhận xét:

- Hàm số  f x đồng biến trên K thì đồ thị hàm số là đường đi lên từ trái sang phải, biểu diễn trong bảng

biến thiên là dấu mũi tên hướng lên từ trái sang phải.

* Hàm số f gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu     1 2 1 2 1 2 , ; x x K x x f x f x     

Nhận xét:

Hàm số  f x nghịch biến trên K thì đồ thị hàm số là đường đi xuống từ trái sang phải, biểu diễn trong

bảng biến thiên là dấu mũi tên hướng xuống từ trái sang phải.

2. Định lý

Định lí thuận

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K .

Nếu  0, f x x K    thì hàm số đồng biến trên khoảng K .

Nếu  0, f x x K    thì hàm số nghịch biến trên khoảng K .

Nếu  0, f x x K    thì hàm số không đổi trên khoảng K .

Định lí đảo

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K .

Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng K thì  0, f x x K    .

Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng K thì  0, f x x K    .

B. PHÂN DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số cho bởi công thức  y f x 

1. Phương pháp giải

Thực hiện các bước như sau:

Bước 1. Tìm tập xác định D .

Bước 2. Tính đạo hàm  y f x    .

Bước 3. Tìm các giá trị x mà  0 f x   hoặc những giá trị làm cho  f x  không xác định.

Bước 4. Lập bảng biến thiên hoặc xét dấu trực tiếp đạo hàm.

Bước 5. Kết luận tính đơn điệu của hàm số  y f x  (chọn đáp án).

2. Bài tập

Bài tập 1. Cho hàm số  

2019 2 1 f x x   . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên .

B. Hàm số đồng biến trên   ;0  .

C. Hàm số nghịch biến trên   ;0  .

D. Hàm số nghịch biến trên .

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Tập xác định D .

Đạo hàm          2018 2018 2 2 2 2019. 1 . 1 2019. 1 . 2 f x x x x x        

Vì  

2018 2 2019. 1 0 x   , x  nên dấu của đạo hàm cùng dấu với   x  .

Ta có  0 0 1 x f x x      

Ta có bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên   ;0  .

Chú ý: Dấu hiệu mở rộng khi kết luận khoảng đồng biến   ;0  .

Bài tập 2. Cho hàm số 

3 2 8 cos f x x x x x     . Với hai số thực ,a b sao cho a b  . Khẳng định nào

sau đây là đúng?

A.   f a f b  . B.   f a f b  .

C.   f a f b  . D.   f a f b  .

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Tập xác định D .

Ta có     2 2 3 2 8 sin 3 2 1 7 sin 0, f x x x x x x x x           

Suy ra  f x đồng biến trên . Do đó   a b f a f b    .

Bài tập 3. Hàm số 2 2 3 y x x    đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.  ; 1  . B.  1;3  . C.  1;. D.   3;.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Tập xác định D .

Ta có     

 

2 2 2 2

2 2

2 2 2 3 2 3 2 3 2 3

x x x y x x x x y x x

             

0 2 2 0 1 y x x      ; y không xác định nếu 1; 3 x x   .

Ta có bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên khoảng   1;1  và   3;.