Toàn tập về phương pháp ghép trục

Cơ sở của phương pháp ghép trục giải quyết bài toán hàm hợp    g f u x  . Ta thực hiện theo

các bước sau đây:

 Bước 1: Tìm tập xác định của hàm    g f u x  . Giả sử tập xác định tìm được như sau:

      1 2 3 4 1 ; ; .... ; n n D a a a a a a      , ở đây có thể 1 ; n a a  

 Bước 2: Xét sự biến thiên của hàm  u u x  và hàm  y f x 

Lập bảng biến thiên kép, xét sự tương quan giữa  ;x u u x      và  ;u g f u     

(Bảng biến thiên này thường có 3 dòng)

 Dòng 1: Xác định các điểm đặc biệt của hàm  u u x  , sắp xếp các điểm này theo thứ tự

tăng dần từ trái qua phải, giải sử như sau: 1 2 1 .... n n a a a a      (xem chú ý số 1).

 Dòng 2: Điền các giá trị  i i u u a  , với   1,....., i n  .

Trên mỗi khoảng   1 ; i i u u  , với   1, 1 i n   cần bổ sung các điểm kì dị 1 2 , ,.... k b b b của hàm

số  y f x  .

Trên mỗi khoảng   1 ; i i u u  , với   1, 1 i n   , sắp xếp các điểm ; i k u b theo thứ tự, chẳng hạn:

1 2 1 .... i k i u b b b u       hoặc 1 2 1 .... i k i u b b b u       (xem chú ý số 2).

 Dòng 3: Xét chiều biến thiên của hàm dựa vào bảng biến thiên của hàm

 y f x  bằng cách hoán đổi u đóng vai trò của x ;  f u đóng vai trò của  f x .

Sau khi hoàn thiện bảng biến thiên    g f u x  ta sẽ thấy được hình dạng của đồ thị hàm

số này.

 Bước 4: Dùng bẳng biến thiên hàm hợp    g f u x  để giải quyết các yêu cầu của bài toán

và đưa ra kết luận.

   g f u x 

LÍ THUYẾT

Một số chú ý quan trọng khi sử dụng phương pháp ghép trục để giải quyết các bài toán về hàm hợp.  CHÚ Ý 1:

 Các điểm đặc biệt của  u u x  gồm: các điểm biên của tập xác định D , các điểm cực

trị của hàm số  u u x  .

 Nếu xét hàm  u u x  thì ở dòng 1 các điểm đặc biệt còn có nghiệm của phương trình

 0 u x  ( là hoành độ giao điểm của hàm số  u u x  với trục Ox ).

 Nếu xét hàm  u u x  thì ở dòng 1 các điểm đặc biệt còn có số 0 ( là hoành độ giao

điểm của  u u x  và trục Oy ).

 CHÚ Ý 2:

 Có thể dùng thêm các mũi tên để thể hiện chiều biến thiên của  u u x  .

 Điểm đặc biệt của hàm số  y f x  gồm: các điểm tại đó  f x và  f x  không xác

định, các điểm cực trị của hàm số  y f x  .

 Nếu xét hàm    g f u x  thì trong dòng 2 các điểm đặc biệt còn có nghiệm của phương

trình  0 f x  .

 Nếu xét hàm     g f u x  thì trong dòng 2 các điểm đặc biệt còn có số 0 .

Lời giải Chọn B

Tiến hành đặt 2 os os u c x c x   . Đạo hàm   2.cos .sin sin sin 1 2cos u x x x x x     .

Giải phương trình:

sin 0 0; ;2 0 1 5 7 cos 2 ; ; 2 3 3 3 3

x x k x u x x k x

  

    

               

Sử dụng phương pháp ghép trục:

Từ bảng biến thiên ta có phương trình  1 5 f u  có tất cả 10 nghiệm phân biệt.

VÍ DỤ MINH HỌA

VÍ DỤ 1: Cho hàm số  y f x  có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn 5 ; 2 2          của hàm số   2 5 cos cos 1 f x x   là

A. 11. B. 10 . C. 9 . D. 12 .