Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối

PHẦN MỞ ĐẦU

1.1. Lý do chọn đề tài

Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất nói chung và bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối là một trong những bài toán khá hấp dẫn và khó trong chương trình Toán THPT. Đã có nhiều tài liệu trình bày về kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các biểu thức nhiều biến, lượng giác, … bằng nhiều phương pháp khác nhau như đạo hàm, bất đẳng thức, lượng giác …(Chuyên đề Bồi dưỡng Học sinh giỏi, Phan Huy Khải). Tuy nhiên, việc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối thì còn hạn chế. Trong quá trình giảng dạy, thông qua việc tham khảo nhiều tài liệu riêng lẻ, tôi thấy đây là một trong những nội dung rất hay và rất thích hợp với việc thi Toán với hình thức thi trắc nghiệm nên tôi chọn đề tài: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối để làm chuyên đề chuyên môn trăng năm học này.

1.2. Điểm mới của đề tài

- Xây dựng được quy trình tính nhanh các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị

nhỏ nhất của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

PHẦN NỘI DUNG

2.1. Thực trạng của vấn đề tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Như đã nói trên, trong các kì thi và gần gũi nhất là kì thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia thường có các câu hỏi về việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Học sinh thường gặp khá nhiều khó khăn và mất khá nhiều thời gian cho bài toán này.

2.1. Nội dung giải pháp

1. Một số kiến thức, kí hiệu ban đầu

Định nghĩa:

Cho hàm f xác định trên , . D D   

+ Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f trên D nếu  , f x M x D  

và tồn tại 0x D  sao cho   0 . f x M 

Kí hiệu:  max

x D f x M   hay max . D f M 

+ Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên D nếu  , f x M x D  

và tồn tại 0x D  sao cho   0 . f x m 

Kí hiệu:  min

x D f x m   hay max . D f m 

Một số định lí

Định lí 1. Cho  f x xác định trên D  và , A B D  và . A B  Giả sử

min ;min ;max ;max A B A B f f f f tồn tại. Khi đó ta có, max max ;min min . A B A B f f f f  

Chứng minh:

+ Giả sử,    0 max , A f x f x  với 0 . x A 

Do    0 0 0 max . B x A B x B f x f x      

+ Chứng minh tương tự cho min min . A B f f 

Định lí 2. Cho ,f g là hai hàm số cùng xác định trên D và  , . f x g x x D  

Giả sử max ;max D D f g tồn tại. Khi đó ta có, max max . D D f g 

Chứng minh

Giả sử    0 max , D g x g x  với 0 . x D 

Do       0 0 , . f x g x x D f x g x    

Lại có,    0 max . D f x f x  Suy ra, max max . D D f g 

Định lí 3. Cho f là hàm số xác định trên 1 2. D D D   Giả sử, max ,min

i i D D f f , (với

1,2) i  đều tồn tại. Khi đó ta có:

  1 2 max max max ;max , D D D f f f  (1)

  1 2 min min min ;min . D D D f f f  (2)

Chứng minh

Ta chứng minh (1), ((2) được chứng minh tương tự).

Vì 1 2 , D D D  nên theo định lí 2, ta có

  1 2 max ;max max .

i D D D D D f f f f f    (3)

Giả sử,   0 0 max , . D f f x x D  

Do 1 2 D D D   nên hoặc 0 1 x D  hoặc 0 2. x D 

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử 0 1. x D 