Chuyên đề trắc nghiệm cực trị của hàm số

CHỦ ĐỀ 2 – CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1) Khái niệm cực đại và cực tiểu

 Định nghĩa: Cho hàm số ( ) y f x = xác định và liên tục trên khoảng ( ) ;a b (có thể a là −∞; b là +∞)

và điểm ( ) 0 ; x a b ∈

a) Nếu tồn tại số 0 h > sao cho ( ) ( ) 0 f x f x < với mọi ( ) 0 0 ; x x h x h ∈ − + và 0 x x ≠ thì ta nói hàm số

( ) f x đạt cực đại tại 0x .

b) Nếu tồn tại số 0 h > sao cho ( ) ( ) 0 f x f x > với mọi ( ) 0 0 ; x x h x h ∈ − + và 0 x x ≠ thì ta nói hàm số

( ) f x đạt cực tiểu tại 0x .

Chú ý:

- Nếu hàm số ( ) f x đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm 0x thì 0x được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của

hàm số; ( ) 0 f x được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, ký hiệu là ( ) CD CT f f , còn điểm

( ) ( ) 0 0 ; M x f x được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

- Các điểm cực đại cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.

- Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số ( ) y f x = có đạo hàm trên khoảng ( ) ;a b và đạt cực đại

hoặc cực tiểu tại 0x thì ( ) 0 ' 0. f x =

 Định lý 1: Giả sử hàm số ( ) y f x = liên tục trên khoảng ( ) 0 0 ; K x h x h = − + và có đạo hàm trên K hoặc

trên { } 0 \ , K x với 0 h > .

- Nếu ( ) 0 ' 0 f x > trên khoảng ( ) 0 0 ; x h x − và ( ) 0 ' 0 f x < trên khoảng ( ) 0 0 ; x x h + thì 0x là điểm cực đại

của hàm số ( ). f x

x 0x h − 0x 0x h + ( ) ' f x + −

( ) f x

CĐ

- Nếu ( ) 0 ' 0 f x < trên khoảng ( ) 0 0 ; x h x − và ( ) 0 ' 0 f x > trên khoảng ( ) 0 0 ; x x h + thì 0x là điểm cực tiểu

của hàm số ( ). f x

x 0x h − 0x 0x h + ( ) ' f x + −

( ) f x

CT

Nhận xét: Xét hàm số ( ) y f x = liên tục và xác định trên ( ) ;a b và ( ) 0 ; . x a b ∈

- Nếu ( ) ' f x đổi dấu khi qua điểm 0x thì 0x là điểm cực trị của hàm số.

- Nếu ( ) ' f x đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm 0x thì 0x là điểm cực đại của hàm số.

- Nếu ( ) ' f x đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm 0x thì 0x là điểm cực tiểu của hàm số.

Chú ý: Hàm số 2 y x x = = có đạo hàm là

2 2 ' 2

x y x = không có đạo hàm tại điểm 0 x = tuy nhiên 'y

vẫn đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm 0 x = nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm 0 x = .

 Định lý 2: Giả sử hàm số ( ) y f x = có đạo hàm cấp hai trong khoảng ( ) 0 0 ; x h x h − + với 0 h > . Khi đó:

- Nếu ( ) ( )

0 0 0

' 0 '' 0 f x x f x =  ⇒  > 

là điểm cực tiểu.

- Nếu ( ) ( )

0 0 0

' 0 '' 0 f x x f x =  ⇒  < 

là điểm cực đại.

Chú ý: Nếu ( ) 0 ' 0 f x = và ( ) 0 '' 0 f x = thì chưa thể khẳng định được 0x là điểm cực đại hay điểm cực

tiểu hay cực trị của hàm số.

Ví dụ: Hàm số 3 y x = có ( ) ( )

' 0 0 '' 0 0 f f =  = 

tuy nhiên hàm số này không đạt cực trị tại điểm 0 x = .

Hàm số 4 y x = có ( ) ( )

' 0 0 '' 0 0 f f =  = 

tuy nhiên hàm số này đạt cực tiểu tại điểm 0 x = .

Do vậy ta chú ý định lý 2 chỉ đúng theo một chiều (không có chiều ngược lại).

II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

DẠNG 1. TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ KHÔNG CÓ THAM SỐ

Phương pháp giải:

 Quy tắc 1: Áp dụng định lý 1.

- Bước 1: Tìm miền xác định D của hàm số đã cho.

- Bước 2: Tính ( ) ' f x . Tìm các điểm mà tại đó ( ) ' 0 f x = hoặc ( ) ' f x không xác định.

- Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu ( ) ' f x hoặc bảng biến thiên đê kết luận.

 Quy tắc 2: Áp dụng định lý 2.

- Bước 1: Tìm miền xác định D của hàm số đã cho.

- Bước 2: Tính ( ) ' f x . Giải phương trình ( ) ' 0 f x = và ký hiệu ( ) 1,2,... ix i n = là các nghiệm của nó.

- Bước 3: Tính ( ) '' f x từ đó tính được ( ) '' i f x .

- Bước 4: Dựa vào dấu của ( ) '' i f x suy ra tính chất cực trị của điểm ix .