Chuyên đề khảo sát hàm số Toán 12 Tính đơn điệu của hàm số

KHẢO SÁT HÀM SỐ TOÁN 12

LÊ BÁ BẢO TRƯỜNG THPT ĐẶNG HUY TRỨ - ADMIN CLB GIÁO VIÊN TRẺ TP HUẾ

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA  CẬP NHẬT TỪ ĐỀ THI MỚI NHẤT

Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia

Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115

Page: CLB GIÁO VIÊN TRẺ TP HUẾ

Chuyên đề:

KHảO SáT HàM Số

Môn: TOÁN 12_GIẢI TÍCH

Chủ đề 1: TíNH ĐƠN ĐIệU CủA HàM Số

I. LÝ THUYẾT

1) Nhắc lại * Hàm số ( ) y f x  gọi là đồng biến (hay tăng) trên  ;a b khi và chỉ khi:

      1 2 1 2 1 2 , ; : x x a b x x f x f x     

* Hàm số ( ) y f x  gọi là nghịch biến (hay giảm) trên  ;a b khi và chỉ khi:

      1 2 1 2 1 2 , ; : x x a b x x f x f x     

Về mặt đồ thị: Hàm số đồng biến (nghịch biến) trên   ;a b có đồ thị là đường đi lên (đi xuống) từ trái

sang phải trên   ;a b .

2) Hàm số hằng: Nếu hàm số ( ) y f x  có đạo hàm trên khoảng   ;a b và   , /( ) 0 ; f x x a b   thì hàm số

( ) y f x  không đổi (hay gọi là hàm hằng y c  ) trên   ;a b .

3) Điều kiện cần và đủ của tính đơn điệu

Định lý: Giả sử hàm số ( ) y f x  có đạo hàm trên   ;a b .

a) Hàm số ( ) y f x  đồng biến (hay tăng) trên   ;a b khi chỉ khi   , /( ) 0 ; . f x x a b  

b) Hàm số ( ) y f x  nghịch biến (hay giảm) trên   ;a b khi chỉ khi   , /( ) 0 ; . f x x a b  

(dấu " "  chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm (rời rạc))

Đồng biến Nghịch biến Lưu ý: Khái niệm điểm tới hạn của hàm số ( ) y f x  . Điểm tới hạn của hàm số là điểm 0 x mà tại đó

/( ) 0 f x  hoặc đạo hàm không xác định.

THUẬT TOÁN Xét sự biến thiên của hàm số Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Tính đạo hàm /( ) f x , giải phương trình /( ) 0 f x  .

Bước 3: Tính các giới hạn, các điểm tới hạn. Bước 4: Lập bảng biến thiên của hàm số và kết luận.

II- BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài tập1: Xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

2) 2 2 3 2 1 1) ( ) 2 3 5 ( ) 4 3 3) ( ) 3 8 2 3 f x x x f x x x f x x x x          

f(x)

b a x

x a b

f(x)

Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia

Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935785115

4) 6)

2 4 2 3 1 2 ( ) 2 3 5) ( ) ( ) 1 1 x x x f x x x f x f x x x         

8)

2 1 1 4 4 7) ( ) 4 1 ( ) 9) ( ) 1 1 1 x x x f x x f x f x x x x          

Bài tập 2: Xác định tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

4 3 2 2

2

2 2

2

2

1 1) ( ) 2 2 1 2) ( ) 3) ( ) 2 3

3 4) ( ) 4 5) ( ) 6) ( ) 1 1 3 2 7) ( ) 8) ( 2 1

x f x x x x f x f x x x x x x f x x x f x f x x x x x f x f x x x

        

         

 

(§HAN-97) (§HL-94)

2

2 2

1 )

4 3

9) ( ) 2 4 1 10) ( ) 2 4

x x

f x x x f x x x



 

    

Bài tập 3: Chứng minh rằng:

1) Hàm số 2 1 x y

x 



đồng biến trên khoảng   1;1  và nghịch biến trên các khoảng   ; 1  và

  1;.

2) Hàm số 2 2 y x x   đồng biến trên khoảng   0;1 và nghịch biến trên   1;2 .

3) Hàm số sin ( ) f x x x   tăng trên khoảng ; 2 2        

. Từ đó suy ra rằng với mọi 0 x  ta có

sin x x  .

4) Với mọi giá trị của tham số m , hàm số

2 2 2 1 x m x m y x      đồng biến trên từng khoảng xác

định của nó.

5) Chứng minh rằng: Hàm số 1 2

mx y x m    luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

Bài tập 4: Xác định các giá trị tham số để các hàm số sau đơn điệu trên khoảng đã chỉ ra:

1) Hàm số   đồng biến trên 3 2 2 2 1 1; y x x mx      .

2) Hàm số       3 2 2 1 2 2 8 1 3 y m x m x m x m         nghịch biến trên .

3) Hàm số

2 2 2 x mx m y x m      đồng biến trên từng khoảng xác định.

4) Hàm số 3 2 1 3 y ax ax x    luôn nghịch biến trên .

5) Hàm số

2 2 2 3 2 x ax a y x a     đồng biến trên   1;.

6) Hàm số   3 2 1 2 1 2 3 y x ax a x a      nghịch biến trên   2;0  .

7) Hàm số   nghịch biến trên 4 ;1 mx y x m     .