Tài liệu chuyên đề khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Page 197

BÀI 5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

A. SƠ ĐỒ BÀI TOÁN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số;

Bước 2. Tính đạo hàm ( ) y f x ′ ′ = ;

Bước 3. Tìm nghiệm của phương trình ( ) 0 f x ′ = ;

Bước 4. Tính giới hạn lim ; lim x x y y →+∞ →−∞ và tìm tiệm cận đứng, ngang (nếu có);

Bước 5. Lập bảng biến thiên;

Bước 6. Kết luận tính biến thiên và cực trị (nếu có);

Bước 7. Tìm các điểm đặc biệt của đồ thị (giao với trục Ox , Oy , các điểm đối xứng, …);

Bước 8. Vẽ đồ thị.

CHƯƠNG

I

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

LÝ THUYẾT. I

CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Page 198

B. CÁC DẠNG ĐỒ THỊ CỦA CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP

1. HÀM SỐ BẬC BA ( ) 3 2 0 y ax bx cx d a = + + + ≠

TRƯỜNG HỢP 0 a > 0 a <

Phương trình / 0 y = có

2 nghiệm phân biệt

Phương trình / 0 y  có

nghiệm kép

Phương trình / 0 y = vô

nghiệm

MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ BÀI TOÁN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Câu 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 3 2 3 2 y x x = − +

Lời giải: Tập xác định: D =  Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

2 3 6 y x x ′ = − .Xét 0 0 2

x y x

= ′ = ⇔= 

+ Các giới hạn tại vô cực

3 3 3 2 lim lim 1 ; x x y x x x →+∞ →+∞   = − + = +∞    

3 3 3 2 lim lim 1 . x x y x x x →−∞ →−∞   = − + = −∞    

x

y

1

O

1

x

y

1

O

1

x

y

1

O

1

x

y

1

O

1

x

y

1

O

1

x

y

1

O 1

CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Page 199

+ Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ) ;0 −∞ và ( ) + ∞ 2; ;

Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ) 0;2

+ Cực trị :

Hàm số đạt cực đại tại 0; x = ( ) 0 2 cd y y = = .Hàm số đạt cực tiểu tại 2; x = ( ) 2 2 ct y y = = −

+ Đồ thị

Ta có 3 2 2 1 3 2 0 2 2 0

x x x x x

= − + = ⇔ − − = 

⇒ đồ thị hàm số qua điểm ( ) 1;0 . A

Cho 0 2 x y = ⇒ = :Đồ thị hàm số cắt Oy tại ( ) 0;2 . B

Lưu ý: Đồ thị hàm số nhận điểm ( ) 1;0 I làm tâm đối xứng. Hoành độ điểm I là nghiệm của phương

trình 0 y′′ = (Điểm uốn)

Câu 2. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 3 2 3 3 1 y x x x = − + − +

Lời giải: Tập xác định: D =  Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

( ) 2 2 3 6 3 3 1 0 y x x x x ′ = − + − = − − ≤ ∀∈ .Xét 0 1. y x ′ = ⇔ =

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng ( ) ; . −∞+ ∞

+ Cực trị : Hàm số không có cực trị + Các giới hạn tại vô cực

3 2 3 3 3 1 lim lim 1 ; x x y x x x x →+∞ →+∞   = −+ − + = −∞    

3 2 3 3 3 1 lim lim 1 . x x y x x x x →−∞ →−∞   = −+ − + = +∞    

x 0 2 +∞ y′ + 0 − 0 +

y

−∞

2 2 −

+∞

CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Page 200

+ Bảng biến thiên:

x −∞ 1 +∞ y′ − 0 −

y +∞ −∞ Đồ thị

Ta có 3 2 3 3 1 0 1 x x x x − + − + = ⇔ = ⇒đồ thị hàm số qua ( ) 1;0 . A

Cho 0 1 x y = ⇒ = ⇒Đồ thị hàm số cắt Oy tại ( ) 0;1 B .

Cho 2 1 x y = ⇒ = − Đồ thị hàm số qua ( ) 2; 1 . C −

Lưu ý: Đồ thị hàm số nhận điểm ( ) 1;0 I làm tâm đối xứng.Hoành độ điểm I là nghiệm của phương

trình 0 y′′ = (Điểm uốn).

Câu 3. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 3 1 y x  

Lời giải: Tập xác định: D =  Sự biến thiên: + Chiều biến thiên:

2 3 0 y x x ′ = ≥ ∀∈ .Xét 0 0. y x ′ = ⇔ =

Suy ra hàm số luôn đồng biến trên khoảng ( ) ; . −∞+ ∞

+ Cực trị : Hàm số không có cực trị + Các giới hạn tại vô cực

3 lim lim ; x x y x →+∞ →+∞ = = +∞ 3 lim lim . x x y x →−∞ →−∞ = = −∞

+ Bảng biến thiên:

x 0 y′ + 0 

y

−∞

0

+∞

Đồ thị

Ta có 3 0 0 x x = ⇔ = .Vậy đồ thị hàm số qua ( ) 0;0 O

⇒

−∞ +∞