Các dạng bài tập tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 CTST

Đại số 12 - Chương 1 - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số - Bài tập theo CT mới 2025 Chân Trời Sáng Tạo

CHƯƠNG 1

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

BÀI 1

TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

1. Tính đơn điệu của hàm số

a. Nhắc lại về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

Cho hàm số ( ) y f x = xác định trên tập K ⊂, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc đoạn.

Hàm số ( ) y f x = gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu mọi 1 2 , x x thuộc K mà 1 2 x x < thì

( ) ( ) 2 1 f x f x < .

Hàm số ( ) y f x = gọi là nghịch biến (tăng) trên K nếu mọi 1 2 , x x thuộc K mà 1 2 x x < thì

( ) ( ) 2 1 f x f x > .

Nếu hàm số ( ) y f x = đồng biến trên K thì đồ thị của nó đi lên từ trái sang phải (Hình a).

Nếu hàm số ( ) y f x = nghịch biến trên K thì đồ thị của nó đi xuống từ trái sang phải (Hình b).

Hàm số ( ) y f x = đồng biến hoặc nghịch biến trên K thì gọi chung là đơn điệu trên K .

b. Tính đơn điệu của hàm số

Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm trên tập K ⊂, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc đoạn.

• Nếu ( ) ' 0, f x x K > ∀∈ thì hàm số ( ) y f x = đồng biến trên K .

• Nếu ( ) 0, f x x K ′ < ∀∈ thì hàm số ( ) y f x = nghịch biến trên K .

Chú ý: Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm trên tập K ⊂, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc

đoạn.

• Nếu ( ) ' 0, f x x K ≥ ∀∈ và ( ) ' 0 f x = chỉ tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số ( ) y f x =

đồng biến trên K .

Đại số 12 - Chương 1 - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số - Bài tập theo CT mới 2025 Chân Trời Sáng Tạo • Nếu ( ) ' 0, f x x K ≤ ∀∈ và ( ) ' 0 f x = chỉ tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số ( ) y f x =

nghịch biến trên K .

• Nếu ( ) ' 0, f x x K = ∀∈ và ( ) ' 0 f x = thì hàm số ( ) y f x = không đổi trên K .

Nhận xét: Để xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số ( ) y f x = , ta có thể thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số ( ) y f x = .

Bước 2: Tính đạo hàm ( ) ' f x . Tìm các điểm ( ) 1,2,3,..., ix i n = tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0

hoặc không tồn tại.

Bước 3: Sắp xếp các điểm ix theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên để xét dấu ' '( ) y f x = .

Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên, nêu kết luận các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.

2. Cực trị của hàm số

a. Khái niệm: Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên tập K ⊂, trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nửa

khoảng và 0 1 , x x K ∈ ∈  .

• 0x được gọi là điểm cực đại của hàm số ( ) y f x = nếu tồn tại một khoảng   ; a b chứa điểm ox sao

cho   ; a b K  và ( ) ( ) { } ( ) , ; \ o o f x f x x a b x < ∀∈ . Khi đó, ( ) o f x được gọi là giá trị cực đại của hàm

số ( ) y f x = , kí hiệu CD f .

• 1x được gọi là điểm cực tiểu của hàm số ( ) y f x = nếu tồn tại một khoảng   ;c d chứa điểm 1x sao

cho   ;c d K  và ( ) ( ) { } 1 1 ( ) , ; \ f x f x x c d x > ∀∈ . Khi đó, ( ) 1 f x được gọi là giá trị cực tiểu của hàm

số ( ) y f x = , kí hiệu CT f .

• Điểm cực trị đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực

tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị)

Chú ý: Nếu 0x là điểm cực trị của hàm số ( ) y f x = thì người ta nói rằng hàm số ( ) y f x = đạt cực trị

tại điểm 0x . Khi đó, điểm ( ) ; ( ) o o M x f x được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số ( ) y f x = .

b. Tìm cực trị của hàm số