Các dạng bài tập đường tiệm cận của đồ thị hàm số Toán 12 KNTTVCS

Đại số 12 - Chương 1 - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đò thị hàm số - Bài tập theo CT mới 2025 KNTTVCS

BÀI 3

ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

2 . Đường tiệm cận đứng

Đường thẳng 0 x x = được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số

( ) y f x = nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

( ) ( ) ( ) ( )

0 0 0 0 lim ; lim ; lim ; lim x x x x x x x x f x f x f x f x + + − − → → → → = +∞ = −∞ = +∞ = −∞

Nhận xét: Giả sử đường thẳng 0 x x = là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ( ) y f x = . Lấy điểm ( ) ; M x y

thuộc đồ thị hàm số. Gọi MH là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng 0 x x = . Khi đó, độ dài MH

tiến tới 0 khi 0 x x− → (hình ,a c ) hay khi 0 x x+ → (hình ,b d )

2 . Đường tiệm cận ngang

Đường thẳng 0 y y = được gọi là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số

( ) y f x = nếu: ( ) 0 lim x f x y →+∞ = hoặc ( ) 0 lim x f x y →−∞ = .

Nhận xét: Giả sử đường thẳng 0 y y = là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ( ) y f x = . Lấy điểm

( ) ; M x y thuộc đồ thị hàm số. Gọi MH là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng 0 y y = . Khi đó, độ

dài MH tiến tới 0 khi x →+∞ (hình a ) hay khi x →−∞ (hình b )

Đại số 12 - Chương 1 - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đò thị hàm số - Bài tập theo CT mới 2025 KNTTVCS

3 . Đường tiệm cận xiên

Đường thẳng ( ) 0 y ax b a = + ≠ được gọi là đường tiệm cận xiên (hay tiệm cận xiên) của đồ thị

hàm số ( ) y f x = nếu: ( ) ( ) lim 0 x f x ax b →+∞ − + =     hoặc ( ) ( ) lim 0 x f x ax b →−∞ − + =     .

Nhận xét: Giả sử đường thẳng ( ) 0 y ax b a = + ≠ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số ( ) y f x = . Lấy điểm

M thuộc đồ thị hàm số ( ) y f x = và điểm N thuộc đường thẳng y ax b = + có cùng hoành độ x . Khi

đó, độ dài MN tiến tới 0 khi x →+∞ (hình a ) hay khi x →−∞ (hình b )

Đại số 12 - Chương 1 - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đò thị hàm số - Bài tập theo CT mới 2025 KNTTVCS

CHỦ ĐỀ 1

TÌM TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ( ) y f x = KHI BIẾT HÀM SỐ, ĐỒ THỊ, BẢNG BIẾN

THIÊN CỦA HÀM SỐ ( ) y f x =

I . Tiệm cận của đồ thị hàm số

1. Đường thẳng 0 x x = được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ( ) y f x = nếu ít nhất

một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

( )

( )

( )

( )

0

0

0

0

lim

lim

lim

lim

x x

x x

x x

x x

f x

f x

f x

f x

+

+

−

−

→

→

→

→

= +∞

= −∞ ⇒ = +∞

= −∞

tiệm cận đứng 0 x x = .

2. Đường thẳng 0 y y = được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ( ) y f x = nếu ít

nhất 1 trong các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

( )

( )

0

0

lim

lim

x

x

f x y

f x y

→+∞

→−∞

= ⇒ =

tiệm cận ngang 0 y y = .

3. Đường thẳng ( ) 0 y ax b a = + ≠ được gọi là đường tiệm cận xiên (hay tiệm cận xiên) của đồ

thị hàm số ( ) y f x = nếu ít nhất 1 trong các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

( ) ( )

( ) ( )

lim 0

lim 0

x

x

f x ax b

f x ax b

→+∞

→−∞

− + =     ⇒ − + =    

tiệm cận xiên y ax b = + .

II. Quy tắc tìm giới hạn vô cực

1. Quy tắc tìm giới hạn của tích ( ). ( ) f x g x

Nếu

0 lim ( ) 0 → = ≠ x x f x L và

0 lim ( ) → = +∞ x x g x (hoặc −∞) thì

0 lim ( ). ( ) x x f x g x → được tính theo quy tắc cho trong

bảng sau:

2. Quy tắc tìm giới hạn của thương ( ) ( ) f x g x

0 lim ( ) → x x f x

0 lim ( ) → x x g x

0 lim ( ) ( ) → x x f x g x

0 > L

+∞ +∞

−∞ −∞

0 < L

+∞ −∞

−∞ +∞