Chuyên đề tính đơn điệu và cực trị của hàm số từ cơ bản đến nâng cao

CHUYÊN ĐỀ I – ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Page 1 Sưu tầm và biên soạn

BÀI 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1. Khái niệm tính đợn điệu của hàm số.

Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nữa khoảng và ( ) y f x  là hàm số xác định trên

K . +) Hàm số ( ) y f x  được gọi là đồng biến trên K nếu

1 2 1 2 1 2 , , ( ) ( ). x x K x x f x f x     

+) Hàm số ( ) y f x  được gọi là nghịch biến trên K nếu

1 2 1 2 1 2 , , ( ) ( ). x x K x x f x f x     

+) Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên . K

Chú ý:

+ Nếu hàm số đồng biến trên K thì từ trái sang phải đồ thị đi lên.

+ Nếu hàm số nghịch biến trên K thì từ trái sang phải đồ thị đi xuống.

CHƯƠNG

I

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

LÝ THUYẾT. I

CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Page 2 Sưu tầm và biên soạn

2. Định lý: Cho hàm số ( ) y f x  có đạo hàm trên K , trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nữa

khoảng. +) Nếu ( ) 0, f x x K     thì hàm số ( ) y f x  đồng biến trên khoảng K .

+) Nếu ( ) 0, f x x K     thì hàm số ( ) y f x  nghịch biến trên khoảng K .

3. Định lý: (Tổng quát) Cho hàm số ( ) y f x  có đạo hàm trên K , trong đó K là một khoảng,

đoạn hoặc nữa khoảng. +) Nếu ( ) 0, f x x K     và ( ) 0 f x   xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên K thì hàm số

( ) y f x  đồng biến trên khoảng K .

+) Nếu ( ) 0, f x x K     và ( ) 0 f x   xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên K thì hàm số

( ) y f x  nghịch biến trên khoảng K .

4. Lưu ý:

+) Nếu hàm số ( ) y f x  liên tục trên đoạn [ ; ] a b và '( ) 0, ( ; ) f x x a b    thì ta nói hàm số đồng

biến trên đoạn [ ; ]. a b

+) Nếu hàm số ( ) y f x  liên tục trên đoạn [ ; ] a b và '( ) 0, (a; ) f x x b    thì ta nói hàm số

nghịch biến trên đoạn [ ; ]. a b

+) Tương tự với các khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến trên các nửa khoảng.

5. Sử dụng bảng biến thiên để xét tính đơn điệu của hàm số.

Để xét tính đơn điệu của hàm số ( ) y f x = ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định D .

Bước 2: Tính đạo hàm ( ) y f x ′ ′ = . Tìm các điểm ( ) 0;1;2;... ix i = mà tại đó ( ) 0 f x ′ = hoặc làm

cho ( ) f x ′ không xác định.

Bước 3: Sắp xếp các ( ) 0;1;2;... ix i = theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

Bước 4: Căn cứ vào bảng biến thiên nêu kết luận

Chú ý: Đối với bài toán trắc nghiệm, ta có thể sử dụng Phương pháp sử dụng MTCT.

Cách 1: Sử dụng chức năng lập bảng giá trị MODE 7 của máy tính Casio. Quan sát bảng kết quả nhận được về tính tăng, giảm giá trị của f(x) và dự đoán.

Cách 2: Tính đạo hàm, thiết lập bất phương trình đạo hàm. Sử dụng tính năng giải bất phương trình INEQ của máy tính Casio (đối với bất phương trình bậc hai, bậc ba).

CHUYÊN ĐỀ I – ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Page 3 Sưu tầm và biên soạn

II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

1. Khái niệm cực trị của hàm số: Cho hàm số ( ) y f x = xác định và liên tục trên khoảng ( ; ) a b và điểm

0 ( ; ) x a b ∈ .

+) Nếu tồn tại số 0 h > sao cho ( ) ( ) 0 f x f x < với mọi 0 0 ( ; ) x x h x h ∈ − + và 0 x x ≠ thì ta nói

hàm số ( ) y f x = đạt cực đại tại 0x .

+) Nếu tồn tại số 0 h > sao cho ( ) ( ) 0 f x f x > với mọi 0 0 ( ; ) x x h x h ∈ − + và 0 x x ≠ thì ta nói

hàm số ( ) y f x = đạt cực tiểu tại 0x .

* Chú ý +) Nếu hàm số ( ) y f x = đạt cực đại tại 0x thì 0x được gọi là điểm cực đại của hàm số; 0 ( ) f x

được gọi là giá trị cực đại của hàm số, kí hiệu là ( ) CT f f CÑ , còn điểm 0 0 ( ; ( )) M x f x được gọi là

điểm cực đại của đồ thị hàm số. +) Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại còn gọi là cực đại và được gọi chung là cực trị của hàm số. 2. Cách tìm cực trị của hàm số

Định lí 2: Giả sử hàm số ( ) y f x = liên tục trên ( ; ) a b chứa điểm 0x và có đạo hàm trên

0 ( ; ) a x và 0 ( ; ) x b .

+) Nếu ( ) ' 0 f x > trên khoảng 0 ( ; ) a x và '( ) 0 f x < trên 0 ( ; ) x b thì 0x là một điểm cực đại của

hàm …