Chuyên đề giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số từ cơ bản đến nâng cao

CHUYÊN ĐỀ I – ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Page 160 Sưu tầm và biên soạn

BÀI 2: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ

I. Định nghĩa: Cho hàm số ( ) y f x = xác định trên miền D .

• Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số ( ) y f x = trên D nếu: ( ) ( ) 0 0

,

,

f x M x D

x D f x M

≤ ∀∈ ∃ ∈ = 

.

Kí hiệu: ( ) max x D M f x ∈ = hoặc ( ) max D M f x = .

• Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) y f x = trên D nếu: ( ) ( ) 0 0

,

,

f x m x D

x D f x m

≥ ∀∈ ∃ ∈ = 

.

Kí hiệu: ( ) min x D m f x ∈ = hoặc ( ) min D m f x =

II. Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm liên tục trên một đoạn Giả sử hàm số ( ) y f x = liên tục trên đoạn [ ] ;a b . Khi đó, để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

nhất của hàm f trên đoạn [ ] ;a b ta làm như sau:

Bước 1: Tìm các điểm 1 2 ; ;...; n x x x thuộc ( ) ;a b mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng hoặc

không xác định. Bước 2: Tính ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 ; ;...; ; ; n f x f x f x f a f b .

Bước 3: So sánh các giá trị tìm được. Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của hàm f trên đoạn [ ] ;a b , số nhỏ nhất

trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của hàm f trên đoạn [ ] ;a b .

Chú ý:

1) [ ] [ ] ( ) ( )

[ ] ( ) ( )

;

;

max ' 0, ; min

a b

a b

f x f b y x a b f x f a

=  > ∀∈ ⇒ = 

0

CHƯƠNG

I

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

LÝ THUYẾT. I

CHUYÊN ĐỀ I – ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Page 161 Sưu tầm và biên soạn

2) [ ] [ ] ( ) ( )

[ ] ( ) ( )

;

;

max ' 0, ; min

a b

a b

f x f a y x a b f x f b

=  < ∀∈ ⇒ = 

3. Quy tắc trên chỉ được sử dụng trong các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn.

4. Đối với bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng (nửa khoảng) thì ta phải tính đạo hàm, lập bảng biến thiên của hàm f rồi dựa vào nội dung của

bảng biến thiên để suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm f trên khoảng (nửa

khoảng) đó.

5. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng (nửa khoảng) có thể không tồn tại.

DẠNG 1. TÌM MAX-MIN TRÊN ĐOẠN BẰNG HÀM SỐ CỤ THỂ, BẢNG BIẾN THIÊN, ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHO TRÊN ĐOẠN VÀ KHOẢNG. Câu 1: Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên [ ] 3;2 − và có bảng biến thiên như hình dưới đây. Gọi M

và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) y f x = trên[ ] 1;2 − . Giá trị

của M m + bằng bao nhiêu?

Câu 2: a) Tìm GTLN, GTNN của hàm số

4 2 2 1 y x x = + − trên đoạn 1; 3    .

b) Tìm GTLN, GTNN của hàm số

3 2 3 2 y x x = − + + trên đoạn[ ] 1;2 − .

Câu 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số ( )

2 4 x f x x − − = trên đoạn 3 ;4 2      

.

Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 3 1 y x x = − + trên đoạn [ ] 0;2 .

Câu 5: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

2 2 2 2 x x y x − + = − trên

3;2 2 2   +  . Tính M m − .

HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN II