Chuyên đề đường tiệm cận của đồ thị hàm số từ cơ bản đến nâng cao

CHUYÊN ĐỀ I – ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Page 201 Sưu tầm và biên soạn

BÀI 3. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

I. Đường tiệm cận ngang

Cho hàm số ( ) y f x = có xác định trên một khoảng vô hạn

là khoảng có một trong các dạng ( , ) a +∞; ( , ) a −∞ ; ( , ) −∞+∞

.Đường thẳng 0 y y = được gọi là đường TCN (hay TCN) của

đồ thị nếu thỏa mãn ít nhất một trong các điều kiện sau:

0 lim ( ) x f x y →−∞ = ; 0 lim ( ) x f x y →+∞ =

Ví dụ. Tìm đường tiệm cận ngang của đồ thi hàm số 3 2 1 x y x − = + .

Lời giải

Tập xác định 1 \ 2 D   = −     

Ta có 3 1 lim 2 1 2 x x x →+∞ − = + và 3 1 lim 2 1 2 x x x →−∞ − = +

Vậy đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 3 2 1 x y x − = + là đường thẳng 1 2 y = .

CHƯƠNG

I

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

LÝ THUYẾT. I

CHUYÊN ĐỀ I – ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Page 202 Sưu tầm và biên soạn

II. Đường tiệm cận đứng

Đường thẳng 0 x x = được gọi là đường tiệm cận đứng

(TCĐ) của đồ thị hàm số ( ) y f x = nếu thỏa mãn ít nhất

một trong các điều kiện sau:

0 lim ( ) x x f x + → = +∞;

0 lim ( ) x x f x + → = −∞

0 lim ( ) x x f x − → = +∞;

0 lim ( ) x x f x − → = −∞

 Lưu ý:

i) Hàm ax b y cx d + = + với 0 ac ≠ có tiệm cận đứng d x c = − ; tiệm cận ngang a y c = .

ii) Hàm ( ) ( )

f x y g x = với ( ) ( ) , f x g x là những hàm đa thức

+) Nếu bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu thì có tiệm cận ngang 0 y = .

+) Nếu bậc tử bằng bậc mẫu thì có tiệm cận ngang n

n

a y b = với , n n a b là hệ số của lũy thừa cao

nhất trên tử và dưới mẫu. +) Nếu bậc tử lớn hơn bậc mẫu thì không có tiệm cận ngang.

+) 0 x x = là tiệm cận đứng

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0

0 0

0 0

0; 0

0

lim x x

g x f x

g x f x

f x g x →

 = ≠  = =   ⇔    = ±∞   

.

CHUYÊN ĐỀ I – ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Page 203 Sưu tầm và biên soạn

iii) Ứng dụng máy tính CASIO để tìm tiệm cận đứng hoặc tiệm cận ngang Để tìm tiệm cận đứng hoặc tiệm cận ngang của một hàm số thông qua máy tính CASIO, ta sử dụng phím CALC trên máy. Một số lưu ý về kết quả và cách bấm:

Giới hạn Thao tác trên máy tính

o x x+ → CALC

10 10 ox − +

o x x− → CALC

10 10 ox − −

x →+∞ CALC 10 10 x →−∞ CALC 10 10 −

Ví dụ 1: Tìm đường tiệm cận đứng của đồ thi hàm số 2 2 x y x + = − .

Lời giải

Tập xác định { } \ 2 D = 

Ta có

2 2 lim 2 x x x + → + = +∞ − , suy ra đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là 2 x = .

Ví dụ 2: Tìm đường tiệm cận đứng của đồ thi hàm số 3 4 2 1 x y x + = − .

Lời giải

Tập xác định 1 \ 2 D  =   

Ta có

1 2

3 4 lim 2 1 x

x x +   →   

+ = +∞ − , suy ra đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là 1 2 x = .

Lời bình: Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ax b y cx d + = + là đường thẳng d x c = − .

Ví dụ 3. Tìm đường tiệm cận đứng của đồ thi hàm số

2

2 1 2 x x y x x − + = − − .

Lời giải

Tập xác định { } \ 2; 1 D = − 

Ta có

2

2 2 1 lim 2 x x x x x + → − + = +∞ − − ,

2

2 1 1 lim 2 x x x x x + →− − + = −∞ − −

Vậy phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng 2 x = và 1 x = −.