Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2024 - 2025 sở GDĐT Hải Dương

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN THI HỌC SINH GIỎI

QUỐC GIA NĂM HỌC 2024 - 2025

Môn thi: Toán Ngày thi: 21 tháng 8 năm 2024 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

(Đề thi có 01 trang)

Câu 1. (5,0 điểm)

a) Cho số thực a thoả mãn 0 1 a  . Xét dãy số ( n u ) có 1 1 , 2 (1 ), n n n u a u u u n N + = = −  *.

Chứng minh dãy số ( n u ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

b) Cho số nguyên dương n và đa thức 1 1 1 0 ( ) ... n n n n P x a x a x a x a − − = + + + + thỏa mãn hai điều kiện sau:

(i) 0 1 { , ,..., } n a a a là một hoán vị của {0,1,2,..., } n .

(ii) ( ) P x có n nghiệm đều là số thực.

Chứng minh rằng (0) 0 P = .

Câu 2. (5,0 điểm) Cho tam giác ABC không cân, nội tiếp đường tròn ( ) O . Đường tròn nội tiếp ( )I của tam giác ABC tiếp xúc với , CA AB lần lượt tại E và F . Gọi J là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC , M và N là trung điểm , JF JE .

a) Chứng minh rằng BM CN = .

b) Giả sử BM cắt CN tại P. Chứng minh rằng P nằm trên đường tròn ( ) O .

Câu 3. (5,0 điểm)

a) Cho số nguyên dương k và số nguyên tố 6 1 p k = + . Với mỗi số nguyên dương m không chia hết cho p , ta kí hiệu m a là số nguyên dương không vượt quá p thỏa mãn . 1(mod ) m m a p  .

Chứng minh rằng ( ) 2 1

1

0 mod i i

p

a p

=

−

  .

b) Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu 1!.2!..... ! nP n = . Tìm tất cả các số nguyên dương 2025 m  sao

cho 2024

! P

m là số chính phương.

Câu 4. (5,0 điểm) Trong mỗi ô vuông đơn vị của bảng n n , ta điền số 1 hoặc 1 −. Sau đó, ở mỗi bước, ta chọn 1 ô và đổi dấu tất cả các số của 2 1 n− ô cùng hàng hoặc cùng cột với ô đó. Tìm số nguyên dương k lớn nhất sao cho với mọi trạng thái điền số ban đầu, sau hữu hạn bước ta có thể nhận được bảng có ít nhất k số 1 trong mỗi trường hợp sau:

a) 4 n = .

b) 2025 n = .

-HẾT-

Họ và tên thí sinh:.................................................... Số báo danh: ...................................................... Cán bộ coi thi số 1:.................................................. Cán bộ coi thi số 2: .............................................

ĐỀ CHÍNH THỨC

Hướng dẫn chấm Câu 1. (5,0 điểm)

a) Cho số thực a thoả mãn 0 1 a  . Xét dãy số ( n u ) có 1 1 , 2 (1 ), n n n u a u u u n N + = = −  *.

Chứng minh dãy số ( n u ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Bài giải: Có 2 1 1 2 (1 ) 0 u u u = −  và 2

1 2 u  . Ta chứng minh được 1 0 2 nu   bằng quy nạp. (1đ)

Xét 2 1 2 (1 2 ) 0 n n n n n n u u u u u u + − = − = −  nên ( n u ) là dãy số tăng và bị chặn trên nên có giới hạn L(1đ)

Thay vào ta được 1 2 L = (1đ)

b) Cho số nguyên dương n và đa thức 1 1 1 0 ( ) ... n n n n P x a x a x a x a − − = + + + + thỏa mãn hai điều kiện sau:

(i) 0 1 { , ,..., } n a a a là một hoán vị của {0,1,2,..., } n .

(ii) ( ) P x có n nghiệm đều là số thực.

Chứng minh rằng (0) 0 P = .

Bài giải: Giả sử rằng 0 không phải là một nghiệm, rõ ràng ( ) P x không có nghiệm nào lớn hơn 0 .

Suy ra mọi nghiệm của ( ) P x đều là số âm. (1đ)

Theo công thức của Vieta, không có ia nào có thể là 0 , mâu thuẫn do 0 1 { , ,..., } n a a a là một hoán vị của

{0,1,2,..., } n .(1đ)