Đề lập đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2024 - 2025 sở GDĐT Quảng Ninh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG NINH

KỲ THI LẬP ĐỘI TUYỂN CỦA TỈNH DỰ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT

NĂM HỌC 2024 - 2025

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Môn thi: TOÁN Ngày thi: 17/9/2024 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

(Đề thi này có 01 trang) Câu 1. (5 điểm) Cho dãy số ( ) n u được xác định bởi:

1

* 1

2025.

, . 2

n n n

u

u u u n +

=  = + ∀∈  

a) Chứng minh rằng dãy ( ) n u có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

b) Gọi A là giới hạn vừa tính được ở câu a). Tính ( ) lim n n n u A →+∞ − .

Câu 2. (5 điểm) Với tham số thực ,a xét hàm số : f →   thỏa mãn: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 . 1 , , 1 . f xf y y f y f x y f x a x y + = + + − ∀ ∈

a) Khi 3 a = , tìm tất cả các hàm số f thỏa mãn ( ) 1 .

b) Tìm tất cả các giá trị a thực để tồn tại duy nhất hàm số f thỏa mãn ( ) 1 .

Câu 3. (5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp ( ) O , ngoại tiếp ( ) I . Đường thẳng qua I vuông góc CI cắt

AC tại . E Đường thẳng qua I vuông góc BI cắt AB tại . F

a) Chứng minh rằng EF tiếp xúc với ( ) I và .tan .tan . 2 2 B C EF BC =

b) Gọi , BI CI cắt ( ) O lần lượt tại các điểm thứ hai là ', '. B C ' B E cắt ( ) O tại điểm thứ hai

là 1. B ' C F cắt ( ) O tại điểm thứ hai là 1. C Chứng minh rằng 1 1 ' ; ' ; C B B C AI đồng quy. Câu 4. (5 điểm) Một thầy giáo ra đề thi thử học kỳ I môn Toán cho 16 bạn học sinh. Đề thi chung cho tất cả 16 học sinh, có n câu hỏi, mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời A,B,C,D; mỗi học sinh chỉ được chọn một phương án trả lời cho mỗi câu hỏi. Sau khi thi xong, thầy giáo nhận thấy 2 học sinh bất kì có nhiều nhất một câu hỏi có phương án trả lời giống nhau. a) Với 3 n = , hãy chỉ ra một ví dụ về phương án trả lời của 16 bạn học sinh thỏa mãn các điều kiện của bài toán. b) Tính giá trị lớn nhất của .n

-------------------------- HẾT --------------------------

- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. - Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: .................................................................. Số báo danh: .........................................

Chữ kí của Giám thị 1: ……………………….. Chữ kí của Giám thị 2: .............................................

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG NINH

HƯỚNG DẪN CHẤM THI LẬP ĐỘI TUYỂN CỦA TỈNH

DỰ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT

NĂM HỌC 2024 - 2025

ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Ngày thi: 17/9/2024 (Hướng dẫn này có 05 trang)

I. HƯỚNG DẪN CHUNG

1. Giám khảo chấm đúng theo hướng dẫn của Sở Giáo dục và Đào tạo.

2. Nếu thí sinh có cách trả lời khác đáp án nhưng đúng thì giám khảo vẫn chấm điểm theo biểu điểm của Hướng dẫn chấm thi.

3. Giám khảo không quy tròn điểm thành phần của từng câu, điểm của bài thi.

II. ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM

Câu Sơ lược lời giải/Một số gợi ý chính Điểm

1a (2.5 điểm)

Chứng minh bằng quy nạp theo : n * 4, . n u n > ∀∈ 1

Ta có được ( ) * * 1 1 2 0, , . 2 2

n n n n n n n n u u u u u u n u u n + + − = − = − − < ∀∈ ⇒ < ∀∈  

Do đó nên dãy ( ) n u giảm và bị chặn dưới bởi 4.

1

Suy ra, tồn tại lim 4 n n u L →+∞ = ≥ thỏa mãn 4. 2 L L L L = + ⇔ =

Vậy nên lim 4. n n u →+∞ =

0.5

1b (2.5 điểm)

Ta có ( )

* * 1 1 4 1 1 1 1 4 4 , , . 2 4 2 2 2

n n n n n n

u u u n n u u u

+ +   − − = − + ∀∈ ⇒ = + ∀∈     − + +     1

Do lim 4 n n u →+∞ = nên ta có 1 4 1 1 1 1 3 lim lim . 4 2 2 4 4 2

n

n n n n

u u u

+

→+∞ →+∞     − = + = + =       − +    

0.5

Đặt ( ) * ln 4 , . n n v u n = − ∀∈Khi đó ( ) 1 1 4 3 lim lim ln ln . 4 4

n n n n n n

u v v u

+ + →+∞ →+∞     −   − = =         −      

0.5

Theo định lý Stolz, ta có ( ) ( )

3 lim ln 4 lim ln 4

n n n n n v u n →+∞ →+∞   − = =    

.

Do đó nên ( )

3 lim 4 . 4

n n n u →+∞ − =

0.5

2a (2 điểm)

Khi 3: a = Giả sử tồn tại hàm số : f →   thỏa mãn điều kiện ( ) 1 .

Thay 0 x = vào ( ) 1 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 3 , 2 . f y f y f y f y = + + − ∀∈ 0.5