Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2024 - 2025 sở GDĐT Đồng Tháp

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH ĐỒNG THÁP

________________ ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm có 01 trang)

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI DỰ THI CẤP QUỐC GIA NĂM HỌC 2024 - 2025

Môn: TOÁN HỌC Ngày thi: 08/8/2024 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1. (5,0 điểm) Cho số thực dương 𝑎𝑎. Xét dãy số (𝑥𝑥𝑛𝑛) xác định bởi 𝑥𝑥1 = 𝑎𝑎 và

𝑥𝑥𝑛𝑛+1 = 𝑥𝑥𝑛𝑛 3 −𝑥𝑥𝑛𝑛 2 + 1 với mọi 𝑛𝑛≥1.

a) Khi 𝑎𝑎= 1

2 : chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương 𝑛𝑛, ta có: 𝑥𝑥𝑛𝑛≥ 2𝑛𝑛−1

2𝑛𝑛.

b) Chứng minh rằng dãy số (𝑥𝑥𝑛𝑛) có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi 𝑎𝑎≤1. Câu 2. (6,0 điểm) a) Cho 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐, 𝑑𝑑 là các số nguyên dương thoả mãn

𝑏𝑏2 + 𝑏𝑏+ 1 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 và 𝑐𝑐2 + 𝑐𝑐+ 1 = 𝑏𝑏𝑏𝑏. Chứng minh rằng: 𝑎𝑎+ 𝑑𝑑+ 2 = 4(𝑏𝑏+ 𝑐𝑐). b) Tìm tất cả các đa thức 𝑃𝑃(𝑥𝑥) hệ số thực thoả mãn 𝑃𝑃(𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥+ 1) = 𝑃𝑃(𝑥𝑥)2 với mọi 𝑥𝑥∈ℝ. Câu 3. (5,0 điểm) Cho tam giác nhọn, không cân 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 có các đường cao 𝐵𝐵𝐵𝐵, 𝐶𝐶𝐶𝐶. Đường tròn đường kính 𝐵𝐵𝐵𝐵 và đường tròn đường kính 𝐶𝐶𝐶𝐶 cắt nhau tại các điểm 𝑋𝑋, 𝑌𝑌. Đoạn thẳng 𝐵𝐵𝐵𝐵 cắt đường tròn đường kính 𝐶𝐶𝐶𝐶 tại điểm 𝑁𝑁. Đoạn thẳng 𝐶𝐶𝐶𝐶 cắt đường tròn đường kính 𝐵𝐵𝐵𝐵 tại điểm 𝑃𝑃. Các đường thẳng 𝑋𝑋𝑋𝑋 và 𝐸𝐸𝐸𝐸 cắt nhau tại 𝑀𝑀. Chứng minh rằng a) Các đường thẳng 𝐵𝐵𝐵𝐵, 𝐶𝐶𝐶𝐶, 𝑋𝑋𝑋𝑋 đồng quy. b) 𝑀𝑀𝑀𝑀= 𝑀𝑀𝑀𝑀. Câu 4. (4,0 điểm) Kí hiệu 𝑆𝑆 là tập hợp 2024 số nguyên dương đầu tiên. Hỏi, có tất cả bao nhiêu tập con khác rỗng của của 𝑆𝑆, mà tổng tất cả các số thuộc mỗi tập con đều chia hết cho 256?

---HẾT---

Họ và tên thí sinh: ________________________ Số báo danh: ___________________________

Chữ ký CBCT1:___________________________ Chữ ký CBCT2:__________________________

Trang 1/5

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH ĐỒNG THÁP

________________ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (HDC gồm có 06 trang)

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI DỰ THI CẤP QUỐC GIA NĂM HỌC 2024 - 2025

Môn: TOÁN HỌC Ngày thi: 08/8/2024

______________________________________

I. Hướng dẫn chung

1) Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng, chính xác, chặt chẽ thì cho đủ số điểm của câu đó.

2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải bảo đảm không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong tổ chấm. II. Đáp án và thang điểm

Câu 1. (5,0 điểm)

Cho số thực dương 𝑎𝑎. Xét dãy số (𝑥𝑥𝑛𝑛) xác định bởi 𝑥𝑥1 = 𝑎𝑎 và

𝑥𝑥𝑛𝑛+1 = 𝑥𝑥𝑛𝑛 3 −𝑥𝑥𝑛𝑛 2 + 1 với mọi 𝑛𝑛≥1.

a) Khi 𝑎𝑎= 1

2 : chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương 𝑛𝑛, ta có: 𝑥𝑥𝑛𝑛≥ 2𝑛𝑛−1

2𝑛𝑛.

b) Chứng minh rằng dãy số (𝑥𝑥𝑛𝑛) có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi 𝑎𝑎≤1.

5.0

a) Ta chứng minh bất đẳng thức bằng quy nạp theo 𝑛𝑛. Do 𝑥𝑥1 =

1

2 và 𝑥𝑥2 =

7

8 >

3

4 nên khẳng định đúng với 𝑛𝑛= 1 và 𝑛𝑛= 2. Giả sử đã đúng tới 𝑛𝑛≥2. Ta có

𝑥𝑥𝑛𝑛≥2𝑛𝑛−1 2𝑛𝑛 > 2 3

Xét hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 −𝑥𝑥2 + 1 trên [0; +∞), ta có 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥(3𝑥𝑥−2). Do đó 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 0 khi và chỉ khi 𝑥𝑥= 0 hoặc 𝑥𝑥= 2

3. Do đó ta có bảng biến thiên

1,0

Từ bảng biến thiên, ta suy ra 𝑓𝑓(𝑥𝑥) đồng biến trên ቀ

2

3 ; +∞ቁ. Do đó, theo giả thiết quy nạp 𝑥𝑥𝑛𝑛+1 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑛𝑛)

≥𝑓𝑓൬2𝑛𝑛−1 2𝑛𝑛 ൰

= 8𝑛𝑛3 −4𝑛𝑛2 + 4𝑛𝑛−1 8𝑛𝑛3

≥2𝑛𝑛+ 1

2𝑛𝑛+ 2

1,0

Trang 2/5

Vậy bất đẳng thức đúng với mọi 𝑛𝑛≥1. Lưu ý: Với cách làm trên, nếu trong bước quy nạp khởi đầu, học sinh không kiểm tra 𝑥𝑥2 > 2

3 thì trừ 0,5 điểm.

b) Với 𝑎𝑎= 1 thì (𝑥𝑥𝑛𝑛) là dãy hằng, do đó có giới hạn hữu hạn. 0,5 Với 𝑎𝑎> 1 : Từ đẳng thức 𝑥𝑥𝑛𝑛+1 −1 = 𝑥𝑥𝑛𝑛

2(𝑥𝑥𝑛𝑛−1) với mọi 𝑛𝑛≥1 (1) ta suy ra 𝑥𝑥𝑛𝑛> 1 với mọi 𝑛𝑛≥1. Từ đó 𝑥𝑥𝑛𝑛+1 −𝑥𝑥𝑛𝑛= (𝑥𝑥𝑛𝑛−1)2(𝑥𝑥𝑛𝑛+ 1) ≥0 (2) ta suy ra (𝑥𝑥𝑛𝑛) là dãy tăng. Nếu (𝑥𝑥𝑛𝑛) có giới hạn hữu hạn, gọi giới hạn đó là ℓ thì ℓ> 1. Mặt khác ℓ= ℓ3 −ℓ2 + 1 ⇔(ℓ−1)2(ℓ+ 1) = 0, mâu thuẫn.

1,0

Với 0 < 𝑎𝑎< 1 : ta sẽ chứng minh (𝑥𝑥𝑛𝑛) có giới hạn hữu hạn. Thật vậy, từ đẳng thức (2) và từ 𝑎𝑎> 0, ta suy ra (𝑥𝑥𝑛𝑛) là tăng. Mặt khác, từ (1), ta suy ra 𝑥𝑥𝑛𝑛< 1 với mọi 𝑛𝑛≥1. Vậy (𝑥𝑥𝑛𝑛) là dãy tăng và bị chặn trên nên có giới hạn hữu hạn.

1,0

Gọi giới hạn dãy (𝑥𝑥𝑛𝑛) là ℓ. Khi đó ℓ≥

1

2 và do đó ℓ= ℓ3 −ℓ2 + 1 ⇔(ℓ−1)2(ℓ+ 1) = 0 ⇔ℓ= 1.

0,5

Câu 2. (6,0 điểm)

a) Cho 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐, 𝑑𝑑 là các số nguyên dương thoả mãn

𝑏𝑏2 + 𝑏𝑏+ 1 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 và 𝑐𝑐2 + 𝑐𝑐+ 1 = 𝑏𝑏𝑏𝑏. …