Đề học sinh giỏi Toán 12 THPT cấp tỉnh năm 2024 - 2025 sở GDĐT Hải Dương

Trang 1/2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2024-2025

Môn thi: TOÁN Ngày thi: 29/10/2024 Thời gian làm bài: 180 phút, không tính thời gian phát đề

(Đề thi có 02 trang, 05 câu) Câu I. (2,0 điểm)

1. Cho hàm số

2 2 2 1 x x y x     có đồ thị  C và điểm   1; 3 M  . Gọi , A B là hai điểm

cực trị của đồ thị  C . Tính diện tích của tam giác MAB .

2. Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy B . Hai nhà máy thỏa

thuận rằng, hàng tháng A cung cấp cho B số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của B (tối đa

100 tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là x tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm

là ( ) 2 90 0,01 p x x = − (triệu đồng). Chi phí để A sản xuất x tấn sản phẩm trong một tháng là

( ) 100 15 C x x = + (triệu đồng) (gồm 100 triệu đồng chi phí cố định và 15 triệu đồng cho mỗi

tấn sản phẩm). Hỏi A bán cho B bao nhiêu tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi nhuận

cao nhất?

Câu II. (2,0 điểm)

1. Doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất

định) được mô hình hoá bằng hàm số 24000 ( ) 1 6 t f t e  

với 0 t  , trong đó thời gian t được tính

bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm ( ) f t  sẽ biểu thị tốc độ bán

hàng. Tốc độ bán hàng lớn nhất đạt được khi t lna  . Tìm a .

2. Có bao nhiêu số nguyên y để với mỗi y có đúng 2 số thực x thỏa mãn bất phương

trình:   2 16. 2 2 16.

x x

x e ln e y x e y     

.

Câu III. (2,0 điểm)

1. Trong trận thi đấu bóng bàn đơn nam giữa vận động viên Nguyễn Đức Tuân (người

từng đoạt huy chương vàng đơn nam môn bóng bàn tại Seagames 31) với một vận động viên

nước ngoài, trận đấu gồm tối đa 5 set (séc), người nào thắng trước 3 set sẽ giành chiến thắng

chung cuộc. Xác suất để vận động viên Tuân thắng mỗi set là 0,6 . Tính xác suất để vận động

viên Tuân giành chiến thắng trong trận đấu.

ĐỀ CHÍNH THỨC

Trang 2/2

2. Giải hệ phương trình:

  2 2

1 2 2

1 1 3 3

y x x y x

y x x

        

Câu IV. (3,0 điểm)

1. Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác đều có cạnh bằng 1 và   SA ABC  . Gọi

, M N lần lượt thuộc các cạnh , SB SC sao cho 3 , 2 SM MB NC NS   . Tính độ dài đoạn SA

và côsin của góc giữa hai đường thẳng MN và AC , biết rằng AN vuông góc CM .

2. Cho hình lăng trụ đứng . ' ' ' ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A với

AC a  . Biết rằng đường thẳng ' BC hợp với mặt phẳng   ' ' ACC A một góc 0 30 và đường

thẳng ' BC hợp với mặt phẳng đáy một góc α sao cho 6 sin 3  . Gọi , M N lần lượt là

trung điểm của ' BB và ' ' A C .

a) Tính thể tích khối lăng trụ . ' ' ' ABC A B C .

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và AN .

Câu V. (1,0 điểm)

Cho các số thực , , a b c thỏa mãn 0 1 a b c   . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

     2 2 2 1 P a b b c c c     

- - - - - - - - HẾT- - - - - - - - -

Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ………………………………… Số báo danh: ……………Phòng thi …………

Cán bộ coi thi số 1 ……………………………… Cán bộ coi thi số 2 ………………………………