Đề học sinh giỏi Toán 12 GDTX cấp tỉnh năm 2024 - 2025 sở GDĐT Hải Dương

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 GDTX CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2024-2025

Môn thi: TOÁN Ngày thi: 29/10/2024 Thời gian làm bài: 180 phút, không tính thời gian phát đề

Đề thi có 1 trang Câu I. (3,0 điểm):

1) Cho hàm số 3 2 3 9 3 y x x x     có đồ thị  C .

a) Gọi , A B là hai điểm cực trị của  C . Tính độ dài đoạn AB .

b) Cho   0;1 M . Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng AB .

2) Số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 được cho bởi công thức

 26 10 5 t f t t    (  f t được tính bằng nghìn người). Xem  y f t  là một hàm số xác định

trên   0;.

a) Dân số của thị trấn đó vào năm 2025 là bao nhiêu? b) Dân số của thị trấn đó không thể vượt quá bao nhiêu nghìn người?

Câu II. (2,0 điểm):

1) Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm

vào cơ thể sau t giờ được cho bởi công thức  2 2 1 t C t t   (đơn vị là miligam/lít). Sau khi tiêm

thuốc bao lâu thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất.

2) Có 6 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh. Tính xác suất để 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ.

Câu III. (2,0 điểm):

1) Giải phương trình: 2sin .cos 2sin 1 0 x x x cos x    .

2) Giải phương trình: 3 2 5 6 9 27 x x    .

Câu IV. (2,0 điểm): Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , tâm O . Cho   SO ABCD  và 3 SA a  .

1) Tính thể tích khối chóp . S ABCD . 2) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng   SCD .

Câu V. (1,0 điểm): Cho tam giác ABC có   2;3 A và hai đường cao kẻ từ , B C lần lượt có phương trình là

   1 2 :3 2 3 0, : 3 4 0 d x y d x y      . Viết phương trình đường thẳng BC .

- - - - - - - - - - - - - - HẾT- - - - - - - - - - - - - -

Họ và tên thí sinh: ………………………………………… Số báo danh: …………………………… Cán bộ coi thi số 1 ……………………………… Cán bộ coi thi số 2 ………………………………

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 GDTX CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2024 – 2025

Môn thi: TOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM

Câu ý Nội Dung Điểm

I

1

Cho hàm số 3 2 3 9 3 y x x x     có đồ thị  C .

a) Gọi , A B là hai điểm cực trị của  C . Tính độ dài đoạn AB .

2 ' 3 6 9 y x x   

1 ' 0 3 x y x

    

     ' 0 ; 3 1; ; ' 0 3;1 y x y x         Hàm số đạt cực trị tại hai điểm 3; 1 x x  .    3 24; 1 8 y y   

0,5

Hai điểm cực trị của  C là     1; 8 , 3;24 A B  

 

2 4;32 16 32 4 65 AB AB      

0,5

b) Cho   0;1 M . Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng AB .

Phương trình đường thẳng 1 8 : 8 0 1 8 x y AB x y        0,5

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng AB là

2 8.0 1 65 65 8 1 d    

0,5

2

Số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 được cho bởi công thức

 26 10 5 t f t t    (  f t được tính bằng nghìn người). Xem  y f t  là một hàm số

xác định trên   0;. a) Dân số của thị trấn đó vào năm 2025 là bao nhiêu?

Từ năm 1970 đến năm 2025 có 55 năm 0,25

Dân số của thị trấn đó vào năm 2025 là   26.55 10 55 24 55 5 f     (nghìn

người).

0,25

b) Dân số của thị trấn đó không thể vượt quá bao nhiêu nghìn người?

  

2 120 ' 0, 0 5 f t t t    

. Suy ra hàm số  f t đồng biến trên   0;. 0,25



10 26 26 10 lim lim lim 26 5 5 1 t t t t t f t t t

  

      

Đồ thị hàm số  y f t  có đường tiệm cận ngang là 26 y  . Vậy dân số của thị trấn tăng nhưng không vượt quá 26 nghìn người.

0,25