Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2024 - 2025

Lời giải Đềthi HSGQG môn Toán 2025

Đội HLV TNVMO Nguyễn Nhất Huy, Phạm Trần Minh Đức, Nguyễn Tiến Đức, Cao Quốc Hưng, Nguyễn Nam, Tống Hữu Nhân, Mai Trung Nguyên, Phạm Hoàng Sơn, Nguyễn Công Thành, Đào Trọng Toàn, Bùi Khánh Vĩnh

Ngày 25 tháng 12 năm 2024

1. Đềbài

Ngày thi thứnhất

Bài 1 (7 điểm). Xét đa thức P(x) = x4 −x3 + x.

a) Chứng minh rằng với mọi sốdương a, đa thức P(x) −a có duy nhất một nghiệm dương.

b) Xét dãy số(an) được xác định bởi a1 = 1

3 và với mọi n ⩾1, an+1 là nghiệm dương của đa thức P(x) −an. Chứng minh rằng dãy (an) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Bài 2 (7 điểm). Với mỗi sốnguyên n ⩾0, đặt un = 2 + √

5 n + 2 − √

5 n.

a) Chứng minh rằng un là sốnguyên dương với mọi n ⩾0. Khi n thay đổi, sốdư của un khi chia cho 24 lớn nhất bằng bao nhiêu?

b) Tìm tất cảcác cặp sốnguyên dương (a, b) với a, b nhỏhơn 500 sao cho với mọi n lẻ ta có un ≡an −bn (mod 1111).

Bài 3 (6 điểm). Cho tam giác nhọn không cân ABC nội tiếp đường tròn (O) và có trực tâm H. Đường thẳng AH cắt lại (O) tại điểm D khác A. Gọi E và F tương ứng là trung điểm các đoạn thẳng AB và AC. Đường thẳng đi qua H và vuông góc với HF cắt đường thẳng BC tại điểm K.

1

Đội Huấn luyện viên Lời giải VMO 2025

a) Đường thẳng DK cắt lại (O) tại điểm Y khác D. Chứng minh rằng giao điểm của đường thẳng BY và đường trung trực của đoạn thẳng BK nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác OFY .

b) Đường thẳng đi qua H và vuông góc với HE cắt đường thẳng BC tại điểm L. Đường thẳng DL cắt lại (O) tại điểm Z khác D. Gọi M, N, P tương ứng là giao điểm của các cặp đường thẳng (BZ, OE), (CY, OF) và (BY, CZ). Gọi T là giao điểm của cặp đường thẳng (Y Z, MN) và d là đường thẳng đi qua T và vuông góc với OA. Chứng minh rằng d đi qua trung điểm của đoạn thẳng AP.

Ngày thi thứhai

Bài 4 (7 điểm). Cho tam giác nhọn không cân ABC có các đường cao AD, BE, CF với D ∈BC, E ∈CA và F ∈AB. Gọi H, O và I tương ứng là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC, M, N và P tương ứng là trung điểm các đoạn thẳng BC, CA và AB. Gọi X, Y và Z tương ứng là giao điểm của các cặp đường thẳng (AI, NP), (BI, PM) và (CI, MN).

a) Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác AXD, BY E, CZF có hai điểm chung nằm trên đường thẳng OH.

b) Các đường thẳng XP, Y M và ZN tương ứng cắt lại các đường tròn ngoại tiếp các tam giác AXD, BY E và CZF tại các điểm X′, Y ′ và Z′ (X′ ̸= X, Y ′ ̸= Y , Z′ ̸= Z). Gọi J là điểm đối xứng của I qua O. Chứng minh rằng X′, Y ′ và Z′ cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với đường thẳng HJ.

Bài 5 (7 điểm). Cho một bảng ô vuông 3k × 3k (k là sốnguyên dương), các ô của bảng được đánh tọa độtheo cột và hàng: ô (i; j) nằm trên cột thứi từtrái qua phải và trên hàng thứj từdưới lên trên. Người ta muốn đặt 4k viên bi vào các ô của bảng, mỗi ô có không quá một viên, thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

• Mỗi hàng và mỗi cột đều có ít nhất một viên bi;

• Mỗi viên bi nằm cùng hàng hoặc cùng cột với ít nhất một viên bi khác.

a) Xét k = 1. Có bao nhiêu cách đặt 4 viên bi vào bảng thỏa mãn các điều kiện trên? (Hai cách đặt bi được coi là khác nhau nếu có một ô (i; j) có bi trong một cách đặt nhưng không có bi trong cách còn lại.)

a) Xét k ⩾1 tổng quát. Xác định sốtựnhiên N lớn nhất sao cho với mọi cách đánh dấu N ô phân biệt trên bảng, luôn tồn tại một cách đặt 4k viên bi thỏa mãn các điều kiện trên mà không có viên bi nào đặt ởmột trong N ô đã được đánh dấu.

Bài 6 (6 điểm). Cho a, b, c là các sốthực không âm, thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng √

3a2 + 4bc + b + c + √

3b2 + 4ca + c + a + √

3c2 + 4ab + a + b ⩾9.

2