Đề chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2024 - 2025 trường THPT Kon Tum

Trang 1/2

TRƯỜNG THPT KON TUM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2024 – 2025

(Đề thi gồm 02 trang)

Môn: Toán, LỚP 12 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 04/01/2025 Câu 1 (4,0 điểm).

1) Cho hàm số ( ) 3 2 2 1 3 1 3 2 = − − − + m y x x m x m . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

đã cho đạt cực trị tại hai điểm 1 2 , x x thỏa mãn ( ) 1 2 1 2 2 4 0 + + + = x x x x .

2) Hai con tàu A và B đang ở cùng một vĩ tuyến và cách nhau 5 hải lí. Cả hai tàu đồng thời cùng

khởi hành. Tàu A chạy về hướng Nam với vận tốc 6 hải lí/giờ, còn tàu B chạy về vị trí hiện tại của tàu

A với vận tốc 7 hải lí/giờ. Hỏi sau bao nhiêu phút thì khoảng cách giữa hai tàu là ngắn nhất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)? Câu 2 (3,0 điểm).

1) Giải hệ phương trình

( ) ( ) ( ) 3 3 3 3

4 3 4 1 . log log 1 log 4 log 2

 + + = + −  + − + = + + 

xy x x y

x x y y x y

2) Cho dãy số ( ) na xác định bởi ( ) ( ) ( )

1 2

2 1

20; 24

3 2 2 1 * + +

= =  = + − + ∈   n n n

a a

na n a n a n .

Tìm 1 lim +

→+∞

n

n n

a a .

Câu 3 (3,0 điểm).

1) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ta lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số, mà các chữ số đôi một khác nhau và trong đó hai chữ số kề nhau không cùng là số lẻ? 2) Trong một đề thi trắc nghiệm môn Toán có loại câu hỏi trả lời Đúng/ Sai. Mỗi câu hỏi có 4 ý, tại mỗi ý học sinh lựa chọn đúng hoặc sai. Cách thức tính điểm cho mỗi câu hỏi như sau:

• Học sinh chọn chính xác 01 ý được 0,1 điểm. • Học sinh chọn chính xác 02 ý được 0,25 điểm. • Học sinh chọn chính xác 03 ý được 0,5 điểm. • Học sinh chọn chính xác 04 ý được 1,0 điểm. Giả sử một thí sinh làm bài bằng cách chọn phương án ngẫu nhiên để trả lời cho 2 câu hỏi loại Đúng/ Sai này. Tính xác suất để học sinh đó được 0,5 điểm ở phần trả lời 2 câu hỏi này. Câu 4 (4,0 điểm).

1) Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD , 6 = = AB CD . M là điểm thuộc cạnh BC sao

cho ( ) 0 1 = < < MC xBC x . Mặt phẳng ( ) P song song với AB và CD lần lượt cắt , , , BC DB AD AC tại

, , , M N P Q. Diện tích lớn nhất của tứ giác MNPQ bằng bao nhiêu?

ĐỀ CHÍNH THỨC

Trang 2/2

2) Cho khối chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, = AB a , SA vuông góc với mặt

phẳng đáy và = SA a . Góc giữa hai mặt phẳng ( ) SBC và ( ) SCD bằng ϕ , với 1 cos 3 ϕ = . Tính thể

tích của khối chóp .S ABCD .

Câu 5 (3,0 điểm). Cho hình chóp .S ABC , mặt bên SBC là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông

góc với mặt đáy,   60 , 1 = = ° = ASB ASC SB . Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( ) SAB .

Câu 6 (1,5 điểm). Một chiếc máy bay đang bay trên không trung. Xét hệ trục tọa độ Oxyz được gắn như

hình vẽ, trong đó gốc O là vị trí của trạm kiểm soát không lưu và ( ) ; ; M x y z (km) biểu thị vị trí máy bay

trên không trung. Tại thời điểm 9 giờ, máy bay đang ở vị trí ( ) 50;120;4 và chuyển động với vận tốc

( ) 1 300;400;3 =  v ( ) km/h . Khi máy bay đạt độ cao 10 km so với mặt đất, máy bay đổi vận tốc mới

( ) 2 400;300; 5 = −  v ( ) km/h để hướng đến sân bay A . Tìm tọa độ máy bay khi vừa đáp xuống sân bay A

Câu 7 (1,5 điểm). Cho , , x y z là các số thực dương thoả mãn điều kiện 1 1 1 4 + + = x y z . Chứng minh rằng

1 1 1 1 2 2 2 + + ≤ + + + + + + x y z x y z x y z .

 HẾT 

Thí sinh không được sử dụng tài liệu, giám thị không giải thích gì thêm.