Đề chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2024 - 2025 sở GDĐT TP Hồ Chí Minh

HSG Toán 12 Tp. HCM năm 2024-2025 GV: ThS. Lê Đình Nguyên - THPT Quang Trung

PHẦN II: BÀI GIẢI

Câu 1: 1. Gọi n là sốchu kỳbán rã của Poloni 210 (n ∈N∗)

Khối lượng còn lại của 64 g Poloni 210 sau n chu kỳlà: m = 64. µ1

2

ản (g)

a) Sốchu kỳbán rã của Poloni 210 sau 552 ngày là: n = 552

138 = 4 (chu kỳ)

Khối lượng còn lại của 64 g Poloni 210 sau 552 ngày là: m = 64. µ1

2

¶4 = 4 (g)

b) 64 gam Poloni 210 còn lại 1 gam nên:

m = 64. µ1

2

ản = 1 ⇐⇒ µ1

2

ản = 1

64 = µ1

2

¶6 ⇐⇒n = 6 (chu kỳ)

Vậy sau: 6.138 = 828 ngày thì 64 g Poloni 210 còn lại 1 gam.

2.a) Độdài của các thanh ngang phân bốtheo quy luật cấp sốcộng với u1 = 49 cm, un = 33 cm

(n ∈N∗), công sai d = −2.

Có un = u1 +(n −1).d ⇐⇒33 = 49+(n −1).(−2) ⇐⇒n = 9

Vậy cái thang này có 9 thanh ngang.

b) Từ1 thanh gỗban đầu nếu muốn cắt ra thành 9 thanh ngang thì phải thực hiện 8 lần cắt.

Khi đó chiều dài phần gỗbịcắt thành mùn cưa là: 8.0,5 = 4 (cm).

Tổng chiều dài của 9 thanh ngang:

S = u1 +u2 +...+u9 = n.(u1 +u9)

2 = 9.(49+33)

2 = 369 (cm)

Vậy chiều dài ít nhất của thanh gỗcần mua là: 369+4 = 373 (cm).

Câu 2: A thuộc đồthị(C) : y = x3 −3x =⇒A(a;a3 −3a)

Gọi d là tiếp tuyến của đồthị(C) tại A. Ta có: y ′ = 3x2 −3 =⇒hệsốgóc của tiếp tuyến d là:

k = 3a2 −3 =⇒pttt d: y = (3a2 −3).(x −a)+ a3 −3a = (3a2 −3).x −2a3

Phương trình hoành độgiao điểm giữa (C) và d:

x3 −3x = (3a2 −3).x −2a3 ⇐⇒x3 −3a2.x +2a3 = 0 ⇐⇒(x −a)2.(x +2a) = 0 ⇐⇒





x = a

x = −2a

3

HSG Toán 12 Tp. HCM năm 2024-2025 GV: ThS. Lê Đình Nguyên - THPT Quang Trung

Từđây suy ra tiếp tuyến d cắt (C) tại điểm N (N ̸= A) có hoành độxN = −2a

Phương trình hoành độgiao điểm giữa (C) và trục hoành Ox (y = 0):

(3a2 −3).x −2a3 = 0 (1) ⇐⇒x = 2a3

3a2 −3

(3a2 −3 ̸= 0 vì nếu 3a2 −3 = 0 thì phương trình (1) vô nghiệm, điều này là vô lý vì pt (1) luôn có

nghiệm là hoành độcủa điểm M)

=⇒hoành độcủa điểm M là: xM = 2a3

3a2 −3

Vì A là trung điểm của đoạn MN nên:

xM + xN = 2xA ⇐⇒ 2a3

3a2 −3 +(−2a) = 2a (2)

Ta xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1: a = 0 =⇒(2) đúng =⇒pttt d : y = −3x. Khi đó, 2 điểm M, N có tọa độđều là

(0;0) =⇒điều này vô lý vì M, N là 2 điểm phân biệt =⇒loại a = 0.

Trường hợp 2: a ̸= 0. Ta có:

(2) ⇐⇒ a2

3a2 −3 −1 = 1 ⇐⇒





a =

r

6 5

a = −

r

6 5

- Với a =

r

6 5, hoành độ2 điểm M,N là: xM = 4 p

30 5 ;xN = −2.

r

6 5 =⇒xM ̸= xN

=⇒thỏa điều kiện M ̸= N =⇒nhận a =

r

6 5 =⇒A

Ãr

6 5;−9 p

30 25

!

- Với a = −

r

6 5, hoành độ2 điểm M,N là: xM = −4 p

30 5 ;xN = 2.

r

6 5 =⇒xM ̸= xN

=⇒thỏa điều kiện M ̸= N =⇒nhận a = −

r

6 5 =⇒A

Ã

−

r

6 5; 9 p

30 25

!

Vậy có 2 điểm A thỏa yêu cầu là:

Ãr

6 5;−9 p

30 25

!

;

Ã

−

r

6 5; 9 p

30 25

!

4

HSG Toán 12 Tp. HCM năm 2024-2025 GV: ThS. Lê Đình Nguyên - THPT Quang Trung

Câu 3:

Vì A(−2;0),B(0;−4) ∈(C2) : y = bx2 +c nên:      

    

b.(−2)2 +c = 0

b.02 +c = −4

⇐⇒

     

    

b = 1

c = −4

=⇒(C2) : y = x2 −4

Vì B(0;−4),C(7;0) ∈(C3) : y = mx4 +n nên:      

    

m.04 +n = −4

m.74 +n = 0

⇐⇒

     

    

n = −4

m = 4 2401

=⇒(C3) : y = 4 2401x4 −4

Diện tích S2 : S2 =

0 Z

−2

£ 0− ¡ x2 −4 ¢¤ dx = 16

3

Diện tích S3 : S3 =

7 Z

0

· 0− µ 4 2401x4 −4 ảá dx = 112

5

5