Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên năm học 2017 - 2018 môn Toán sở GD và ĐT Bình Định

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2017 – 2018 Đề chính thức Môn thi: TOÁN (Chuyên Toán) Ngày thi: 04/ 6/ 2017 Thời gián làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1: (2,0 điểm).

Cho biểu thức:

2 x 2 x 2 x 2x 1 A x 1 2 x 2 x 1

                 

a) Tìm điều kiện của x để biếu thức A có nghĩa. Rút gọn A, b) Tìm x để A 0  c) Tìm giá trị lớn nhất của A.

Bài 2 (2,0 điểm).

1. Giải phương trình sau: 4 3 2 4x 4x 20x 2x 1 0    

2. Chứng minh rằng nếu số tự nhiên abc là số nguyên tố thì 2 b 4ac  không là số chính phương.

Bài 3 (1,0 điểm).

Cho đa thức 2 f(x) x 2(m 2)x 6m 1      (m là tham số). Bằng cách đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t và tìm

điều kiện để phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm lớn hơn 2.

Bài 4 (4,0 điểm). 1. Cho đường tròn (T) tâm O đường kính AB, trên tiếp tuyến tại A lấy một điểm P khác A, điểm K thuộc đoạn OB (K khác O và B). Đường thẳng PK cắt đường tròn (T) tại C và D (C nằm giữa P và D), H là trung điểm của CD a) Chứng minh tứ giác AOHP nội tiếp được đường tròn.

b) Kẻ DI song song PO, điểm I thuộc AB, chứng minh:   PDI BAH 

c) Chứng minh đẳng thức: 2 PA PC PD   d) BC cắt OP tại J, chứng minh AJ // DB 2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ một điểm I thuộc miền trong tam giác, kể IMBC, INAC, IK AB.

Tìm vị trí của I sao cho tổng 2 2 2 IM IN IK   nhỏ nhất Bài 5 (1,0 điêm).

Cho các sô thực dương x, y, z thỏ mãn xyz 1. Chứng minh rằng:

3 3 3

3 3 3 x(1 y ) y(1 z ) z(1 x ) 0 y z x      

Lượt giải: Bài 1: (2,0 điểm).

a) A có nghĩa khi và chỉ khi:

 

2

x 0 x 0 x 0 x 1 0 x 1 x 1 x 2 x 1 0 x 1 0

                        

Vậy điều kiện để biểu thức A có nghĩa là: x 0

x 1

   

Khi đó,

   

      

2 2

2 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 2 (x 1) (x 1) A 2 2 x 1 x 1 (x 1) x 1 x 1

                            

         x x 2 x x 2 2 x x 1 x 1 x 1 x x 1 x x 2 x 1 2 x 1

                

Vậy A x x  (với x 0, x1)

b) A 0  x x 0   (với x 0, x 1)

    x 1 x 0 x 1 x 0 x 1 0 x 0 x 1 0 x 1              

Vậy A 0  khi 0 x 1   c) Với x 0, x 1, ta có:

 

2 2 1 1 1 1 1 1 A x 2 x x 2 4 4 2 4 4                      , dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi 1 1 x x 2 4   

Vậy 1 1 Max(A) khi x 4 4  

Bài 2 (2,0 điểm).

1. Giải phương trình sau: 4 3 2 4x 4x 20x 2x 1 0     (1) Dễ thấy x = 1 không là nghiệm của (1), do đó:

2 2 2 1 (1) 4x 4x 20 0 x x       ( vì 2 x 0  )

2 2 1 1 2x 2 2x 24 0 y 2y 24 0 x x                       (với 1 y 2x 0 x    )

2

2

1 3 7 2x 6 0 x y 6 y 6 0 2x 6x 1 0 x 2 y 4 y 4 0 1 2x 4x 1 0 2 2 2x 4 0 x x 2

                                          

Vậy phương trình (1) có tập nghiệm: 3 7 2 2 S ; 2 2

            Cách 2: (1) 4 3 2 2 2 2 2 2 (4x 4x x ) 21x 2x 1 0 (2x x) 2(2x x) 1 25x 0            

2 2 2 2 2 2

2

3 7 x 2x 6x 1 0 2 (2x x 1) (5x) 0 (2x 6x 1)(2x 4x 1) 0 2x 4x 1 0 2 2 x 2

                            

2. Giả sử 2 b 4ac  là số chính phương n : 2 2 2 2 b 4ac n 4ac b n (b n)(b n)         (*)

(b – n)(b + n) 4 và hai số b – n, b + n cùng tính chẵn lẻ (vì (b – n) + (b + n) = 2b)