Đề thi vào lớp 10 chuyên môn Toán năm 2020 - 2021 sở GDĐT Nghệ An (chuyên)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

NGHỆ AN TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU TRƯỜNG THPT CHUYÊN – ĐẠI HỌC VINH

NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn: TOÁN (chuyên) Ngày thi 17/7/2020 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1. (3,0 điểm)

a) Giải phương trình: 2 2 2 1 2 3 3 . x x x x x           

b) Giải hệ phương trình:

3 2 2 2 0

. 1 2 3 4

x x y x y xy y

x y y x

            

Câu 2. (1,5 điểm)

a) Tìm tất cả các số nguyên dương ,x y và số nguyên tố p thỏa mãn 4 4. x p y  

b) Chứng minh rằng nếu , m n là hai số tự nhiên thỏa mãn 2 2 2 3 m m n n    thì 2 2 1 m n   là số chính phương.

Câu 3. (1,0 điểm)

Cho , , a b c là các số thực dương thỏa mãn 3. a b c  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

. a b b c c a P c ab a bc b ca         

Câu 4. (3,5 điểm)

Cho tam giác nhọn   ABC AB AC  nội tiếp đường tròn . O Các đường cao , , AD BE CF của tam giác ABC

cắt nhau tại . H

a) Chứng minh BC là đường phân giác của tam giác . DEF

b) Gọi M là giao điểm của đường thẳng EF với đường tròn  O sao cho M nằm trên cung nhỏ . AB 1 2 , O O lần

lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMF và . CEM Chứng minh rằng AM vuông góc với 1 2. O O

c) Lấy điểm K trên đoạn thẳng HC sao cho K khác H và . C Đường thẳng BK cắt đường tròn  O tại điểm

thứ hai là I và đường thẳng CI cắt đường thẳng BE tại điểm . G Chứng minh hệ thức:

. GFB CEF FK BF BE S S FC CF CE               

Trong đó XYZ S là diện tích của tam giác . XYZ

Câu 5. (1,0 điểm)

Trong hình chữ nhất có chiều dài 149 , cm chiều rộng 40 cm cho 2020 điểm phân biệt. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 2 điểm trong số 2020 điểm đã cho mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 2 . cm

-----------------------------------------HẾT-----------------------------------------

------------------

Câu 1.

a) Điều kiện 0. x  Chú ý rằng 2 1 0, 0, x x x   ta có phương trình tương đương:

  

2 2 2

2 2

2

1 1 1 1 2 3 1 0 2 3 5 0

1 1 1 2 5 0 1 2 5 2 0

2 2 5 2 0 . 1 2

x x x x x x x x

x x x x

                                                                                               

Vậy phương trình đã cho có hai nghịm 1 ; 2. 2 x x  

b) Điều kiện:

0

1 . 2 3 4 0

x

y y x

     

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:

      

2 2 2 2 2 1 1 0 1 0 . 1 y x y x x y x x y x y x y x

             

 Với 1, y x     2 3 4 0 2 1 3 4 0 2, y x x x x         điều này mâu thuẫn với 0. x 

 Với 2 1. y x x    Thay 2 y x  vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

 

 

      

  

 

2 2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

1 2 3 4 2 1 1 2 3 4

2 1 4 3

2 1 3 1 0

3 1 1 0

3 1 0

10 9 0 5 34 1 .

x x x x x x x x x x

x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x

x x x x

          

    

       

      

  

     

Với 5 34, x  ta có 59 10 34. y  

Vậy hệ cho có nghiệm duy nhất     ; 5 34; 59 10 34 . x y   

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NGHỆ AN

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU TRƯỜNG THPT CHUYÊN – ĐẠI HỌC VINH

NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn: TOÁN (chuyên) -------------------------

------------------