Đề tuyển sinh lớp 10 THPT môn Toán (chuyên) năm 2020 - 2021 sở GDĐT Điện Biên

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH ĐIỆN BIÊN

Đề chính thức

(Có 01 trang)

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

NĂM HỌC 2020 - 2021

Môn: Toán (Chuyên)

Ngày thi: 15/7/2020 Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề

ĐỀ BÀI

Câu 1. (2,0 điểm).

1. Cho biểu thức:

2 2 2(a 1) 1 1 a a a a a a a a P − + − − + + + − = ( với 0, 1 a a > ≠).

a) Rút gọn . P b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P .

2. Giải hệ phương trình:

1 2 1 1 3 3 4 1 7 3

x y

x y

 −+ =  +   −− =  + 

Câu 2. (2,0 điểm).

Cho phương trình: 2 5 4 0 − − = x mx m ( với m là tham số). a) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm kép, tìm nghiệm đó. b) Chứng minh rằng khi phương trình có 2 nghiệm phân biệt 1 2 , x x thì:

2 2 1 2 5 14 1 0 x mx m m + + + + > .

Câu 3. (2,0 điểm).

a) Một con Robot được thiết kế có thể đi thẳng, quay một góc 0 90 sang phải hoặc sang trái. Robot xuất phát từ vị trí A đi thẳng 2m quay sang trái rồi đi thẳng 3m, quay sang phải rồi đi thẳng 5m đến đích tại vị trí B. Tính khoảng cách giữa đích đến và nơi xuất phát của Robot.

b) Cho hai số ,a b thỏa mãn 0 a b > > và . 1 a b = . Chứng minh:

2 2 2 2 a b a b + ≥ − .

Câu 4. (3,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( ) O . Đường cao , AD BE cắt nhau tại H . Kéo dài , BE AO cắt đường tròn ( ) O lần lượt tại F và M .

a) Chứng minh HAF ∆ cân. b) Gọi I là trung điểm của BC . Chứng minh ba điểm , , H I M thẳng hàng và 2 AH OI = . c) Khi BC cố định, xác định vị trí của A trên đường tròn ( ) O để . DH DA lớn nhất.

Câu 5. (1,0 điểm).

a) Cho 0 xy yz xz + + = và 0 xyz ≠ . Chứng minh rằng: 2 2 2 3 yz xz xy x y z + + = .

b) Cho n là số nguyên dương. Biết rằng 2 1 n + và 3 1 n + là hai số chính phương. Chứng minh rằng n chia hết cho 40 .

.................. Hết ...................

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH ĐIỆN BIÊN

(Hướng dẫn chấm có 04 trang)

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

Năm học : 2020 - 2021

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM

MÔN TOÁN CHUYÊN

Câu Hướng dẫn Điểm

1.1 (1,0đ)

Cho biểu thức:

2 2 2(a 1) 1 1 − + − − + + + − = a a a a a a a a P

a) Rút gọn . P

Với 0, 1 a a > ≠⇒

3 ( 1) (2 1) 2( 1)( 1)

1 1

a a a a a a

a a a a P − + − + − + + + − = 0,25

( 1)( 1) (2 1) 2( 1) 1 1 a a a a a a a a a a P − + + − + + + = − + + + = 0,25

b) Tính giá trị nhỏ nhất của P.

2 1 3 3 1 2 4 4 a a a P   − + = − + ≥     = (Với 0, 1 a a ∀> ≠) 0,25

Vậy giá trị nhỏ nhất của 3 4 P = khi 1 4 a = . 0,25

1.2

Giải hệ phương trình:

1 2 1 1 3 3 4 1 7 3

x y

x y

 −+ =  +   −− =  + 

Điều kiện: 1 3 x y ≥   ≠− 

0,25

Đặt

1 1 3

u x

v y

= −  =  + 

(điều kiện 0 u ≥ ) 2 1 1 4 3 7 1 u v u u v v + = =   ⇒ ⇔   − = = −  

(thỏa mãn) 0,5

1 1 2 1 4 1 3

x x y y

 −= =   ⇒ ⇔   = − = −   + 

(thỏa mãn). Vậy HPT có 1 nghiệm (2; 4) − 0,25

2.a (1,0đ)

Phương trình: 2 5 4 0 − − = x mx m . a) Tìm m để phương trình có nghiệm kép, tìm nghiệm đó.

Ta có: 2 25 16 m m ∆= + 0,25

Để phương trình có nghiệm kép thì 2 0 0 25 16 0 16 25

m m m m

=   ∆= ⇔ + = ⇔ = − 

0,25

) 0 m + = nghiệm kép là 1 2 5 0 2 m x x = = = 0,25

16 ) 25 m + = − nghiệm kép là 1 2 5 8 2 5 m x x = = = − 0,25