Đề tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên môn Toán năm 2021 - 2022 sở GDĐT Nghệ An

LATEX BY MATHPIAD

LỜI GIẢI ĐỀTHI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH NGHỆAN

TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC VÀ A1K49 CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU

NGÀY 6 THÁNG 6 NĂM 2021

Lời giải đềthi được thực hiện bởi

1 Nguyễn Nhất Huy −THPT Chuyên Phan Bội Châu.

2 Doãn Quang Tiến −Đại học KHTN Thành phốHồChí Minh.

3 Phan Quang Đạt −Đại học Sư phạm Hà Nội.

4 Dương Quỳnh Châu −Đại học Sư phạm Hà Nội.

5 Nguyễn Minh Tuấn −THPT Bình Minh, Kim Sơn, Ninh Bình.

Mọi ý kiến đóng góp xin gửi vềfanpage TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC.

CẢM ƠN CÁC BẠN ĐÃ ỦNG HỘVÀ THEO DÕI!

1

LATEX BY MATHPIAD

LỜI GIẢI ĐỀTHI VÀO 10 CHUYÊN TOÁN NGHỆAN

Câu 1.

a) Giải phương trình x2 + 2 2 + √x −1 = 5x.

b) Giải hệphương trình

( 3x2 + y2 = 5 + 2xy + 2x −2y 2x2 + y2 = 10 + 2x −3y .

Lời giải.

a) Điều kiện xác định: x ⩾1. Đặt √x −1 = y, với điều kiện y ⩾0. Ta có x = y2 + 1, và phương trình đã cho trởthành y2 + 1 2 + 2 (2 + y) = 5 y2 + 1 ⇔ y2 + 1 y2 −4 + 2 (y + 2) = 0

⇔ y2 + 1 (y −2) (y + 2) + 2 (y + 2) = 0

⇔(y + 2) y2 + 1 (y −2) + 2 = 0

⇔(y + 2) y3 −2y2 + y = 0

⇔(y + 2)y (y −1)2 = 0

Do điều kiện phép đặt là y ⩾0, ta được y = 0 hoặc y = 1.

† Với y = 0, ta có phương trình √

x −1 = 0 ⇔x −1 = 0 ⇔x = 1.

† Với y = 1, ta có phương trình √

x −1 = 1 ⇔x −1 = 1 ⇔x = 2.

Đối chiếu với điều kiện xác định, ta kết luận tập nghiệm của phương trình là S = {1; 2}.

b) Ta viết lại hệphương trình ( 3x2 + y2 −2xy −2x + 2y −5 = 0 (1) 2x2 + y2 −2x + 3y −10 = 0 (2)

Nhân đôi hai vếphương trình (1), rồi trừtheo vếvới phương trình (2), ta được

2 3x2 + y2 −2xy −2x + 2y −5 − 2x2 + y2 −2x + 3y −10 = 0 ⇔4x2 + y2 −4xy −2x + y = 0

⇔(2x −y)2 −(2x −y) = 0 ⇔(2x −y) (2x −y −1) = 0

⇔ y = 2x y = 2x −1

† Với y = 2x, thếvào phương trình (2), ta được

2x2 + (2x)2 = 10 + 2x −3 · (2x) ⇔6x2 + 4x −10 = 0 ⇔2(3x + 5)(x −1) = 0

⇔

" x = 1 ⇒y = 2

x = −5

3 ⇒y = −10

3

2

LATEX BY MATHPIAD

TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC VÀ A1K49 CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU

† Với y = 2x −1, thếvào phương trình (2), ta được

2x2 + (2x −1)2 = 10 + 2x −3 (2x −1) ⇔2x2 + 4x2 −4x + 1 = 10 + 2x −6x + 3 ⇔6x2 −12 = 0

⇔6 x − √

2 x + √

2 = 0

⇔6 x2 −2 = 0

⇔ x = √

2 ⇒y = 2 √

2 −1 x = − √

2 ⇒y = −2 √

2 −1

Như vậy, hệphương trình đã cho có tất cả4 nghiệm phân biệt, bao gồm

(1, 2) , −5

3, −10

3

, √

2, 2 √

2 −1 , − √

2, −2 √

2 −1

Bài toán được giải quyết. ∇

3

LATEX BY MATHPIAD

LỜI GIẢI ĐỀTHI VÀO 10 CHUYÊN TOÁN NGHỆAN

Câu 2.

a) Tìm x, y ∈N sao cho x3 = 1993 · 3y + 2021.

b) Tìm sốnguyên dương n đển −23

n + 89 là bình phương một sốhữu tỉdương.

Lời giải.

a) Dựa vào tính chất đã biết x3 ≡0, 1, 8 (mod 9), ta có các đánh giá

1993 · 3y + 2021 ≡0, 1, 8 (mod 9) ⇒4 · 3y ≡3, 4, 5 (mod 9).

Ta xét các trường hợp kểtrên.

† Với 4.3y ≡3 (mod 9), ta được y = 1. Thay ngược lại, ta tìm ra x = 20.

† Với 4.3y ≡4 (mod 9), ta được y = 0. Thay ngược lại, ta tìm ra x = 3√

4041, không là sốnguyên.

† Với 4.3y ≡5 (mod 9), ta không tìm được y nguyên dương thỏa mãn.

Như vậy, cặp số(x, y) duy nhất thỏa mãn là (x, y) = (20, 1).

b) Vì n −23

n + 89 là bình phương một sốhữu tỉdương nên n > 23.

Lúc này, ta có thểđặt n −23

n + 89 = a

b

2 , trong đó a, b ∈N∗, (a, b) = 1, a < b.

Vì (a, b) = 1 nên (a2, b2) = 1. Do đó, tồn tại sốnguyên dương k sao cho ( n −23 = a2k, (1) n + 89 = b2k, (2)

Trừtương ứng vếcủa (1) cho (2), ta suy ra

(n + 89) −(n −23) = (b2 −a2)k ⇔112 = (b + a)(b −a)k.

Dựa vào các đánh giá

† b + a và b −a đều là ước dương của 112,

† b + a và b −a cùng tính chẵn lẻ,

† b + a > b −a > 0,

Ta lập được bảng giá trịsau

b + a b −a k b a n = a2k + 23 28 4 1 16 12 loại vì (a, b) > 1 56 2 1 29 27 752 14 8 1 11 3 32 14 4 2 9 5 73 28 2 2 15 13 361 8 2 7 5 3 86 14 2 4 8 6 loại vì (a, b) > 1 4 2 14 3 1 37 7 1 16 4 3 167

4