Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2021 - 2022 sở GDĐT Bến Tre

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 BẾN TRE TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CÔNG LẬP NĂM HỌC 2021 – 2022 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (chuyên) Thời gian: 150 phút (không kể phát đề)

Câu 1. (2,0 điểm)

a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số   6 7 2 y m x    nghịch biến trên .

b) Cho Parabol  2 : 2 P y x  và đường thẳng : 6 d y x  . Biết  d cắt   P tại hai điểm phân

biệt   1 1 ; A x y ,   2 2 ; B x y với 1 2 x x  . Tính 2 1 4x y  .

c) Rút gọn biểu thức  

2 2 1 4 4 2 7 A x x x        (với 2 x  ). Câu 2. (1,0 điểm)

Cho phương trình:   2 3 4 4 0 x m x m      (1), với m là tham số. Tìm m để phương trình

(1) có hai nghiệm phân biệt 1x ; 2x thỏa 1 2 1 2 20 x x x x    .

Câu 3. (3,0 điểm)

a) Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2 2 2 1 2 y xy x y xy y x      .

b) Giải hệ phương trình:

2

2 2 2 2 0

4 2 2 0.

y xy

x y y x

 

  

     

c) Giải phương trình:    2 3 2 5 2 2 9 10 2 1 x x x x x        .

Câu 4. (1,0 điểm)

Cho ba số thực dương x, y z thỏa 3 2 xy xz   . Chứng minh rằng:

8 4 5 7 yz xz xy x y z    .

Câu 5. (2,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A với ( AB AC  ), có đường cao AH . Biết 1dm BC  và 12dm 25 AH  .

a) Tính độ dài hai cạnh AB và AC b) Kẻ HD AB  ; HE AC  (với D AB  , E AC  ). Gọi I là trung điểm của BC . Chứng minh IA DE  . Câu 6. (1,0 điểm)

Cho tam giác ABC có đường phân giác ngoài của góc A cắt đường thẳng BC tại điểm D . Gọi M là trung điểm của BC . Đường tròn ngoại tiếp ADM  cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại E và F (với E , F khác A). Gọi N là trung điểm của EF . Chứng minh rằng MN //

AD.

____________________ HẾT ____________________

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1. (2,0 điểm)

a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số   6 7 2 y m x    nghịch biến trên .

b) Cho Parabol  2 : 2 P y x  và đường thẳng : 6 d y x  . Biết  d cắt   P tại hai điểm phân

biệt   1 1 ; A x y ,   2 2 ; B x y với 1 2 x x  . Tính 2 1 4x y  .

c) Rút gọn biểu thức  

2 2 1 4 4 2 7 A x x x        (với 2 x  ). Lời giải

a) Hàm số   6 7 2 y m x    nghịch biến trên  6 6 7 0 7 m m      .

Vậy 6 7 m  thì hàm số đã cho nghịch biến trên .

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của   P và  d , ta có:

2 2 0 2 2 6 6 x x x x     

Có:  2 4.2.6 49 0 1      Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

1

1 49 2 2.2 x    và 2

1 49 3 2.2 2 x   

Với 1 2 x , ta có 1 8 y , suy ra   2;8 A  .

Với 2

3 2 x  , ta có 2

9 2 y  , suy ra 3 9 ; 2 2 B     .

Khi đó, ta có:

2 1 4 4.3 4 8 1 2 x y     .

Vậy 2 1 4 4 1 x y   .

c)

 

 

 

 

2

2

2

2 1 4 4 2 7

2 2 2 1 2 2 2.2 2 1

1 2 2 2 2 1

1 2 2 2 2 1

1 2 2 2 2 1 do 2 2 1 0

A x x x

x x x x

x x x

x x x

x x x x

x

     

        

     

 





    

      



Vậy A x  .

Câu 2. (1,0 điểm)

Cho phương trình:   2 3 4 4 0 x m x m      (1), với m là tham số. Tìm m để phương trình

(1) có hai nghiệm phân biệt 1x ; 2x thỏa 1 2 1 2 20 x x x x    .

Lời giải

Ta có:       2 2 2 2 4 6 9 1 1 3 4 6 4 6 10 25 5 m m m m m m m m               Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

 

2 0 5 0 5 0 5 m m m          Vậy với 5 m  thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Theo đề bài ta có: 1 2 1 2 20 x x x x    (2), với điều kiện

1

2

0

0

x

x



   

Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 1 0 x  và 2 0 x  , nghĩa là

5 5 5 3 0 3 1 4 4 0 1

m

m m m m

m

m

m           

             

(*)

Áp dụng định lý Vi-et, ta có:

1 2

1 2

3

4 4

x x m

x x m   

  

 

Ta có:

 

 

2

1 2 1 2 1 2

2

3 2 4 4

3 4 1

1 4 1

2

4 1 2

x x x x

m m

m m

m m m

x x   

   

   

  



  

Từ đó, ta suy ra

  1 2 1 1 2 do 1 2 0, x x m m m         

Từ phương trình (2), ta được

1 2 1 2 1 2 0 2 1 0 4 4 2 22 4 …