Đề tuyển sinh lớp 10 chuyên môn Toán (chuyên) năm 2021 - 2022 sở GDĐT Hà Nam

Câu I. (2,0 điểm) Cho biểu thức 1 1 : 1 1 1 a ab a a a b ab S ab ab ab

  + + + + + = + +   − + −  

với 2 2 0, 0, 0 a b a b ≥ ≥ + > và 1. ab ≠ 1. Rút gọn biểu thức .S

2. Tính giá trị của biểu thức S khi 3 2 2 a = + và 11 6 2. b = − Câu II. (2,0 điểm)

1. Giải phương trình ( ) 2 2 4 2 4 0. x x x x x + + − + − + =

2. Giải hệ phương trình 2 1 2 2 4 2 0

2 3 2 1 4.

x y xy x y

x y

+ −− + − − =  − + + = 

Câu III. (3,5 điểm) Cho đường tròn ( ) O đường kính 2 . AB R = Gọi ∆ là tiếp tuyến của ( ) O tại .A Trên ∆ lấy điểm M sao cho . MA R > Qua M vẽ tiếp tuyến MC (C thuộc đường tròn ( ), O C khác ). A Gọi H và D lần lượt là hình chiếu vuông góc của C trên AB và . AM Gọi d là đường thẳng đi qua điểm O và vuông góc với . AB Gọi N là giao điểm của d và . BC

1. Chứng minh // OM BN và . MC NO =

2. Gọi Q là giao điểm của MB và , CH K là giao điểm của AC và . OM Chứng minh đường thẳng QK đi qua trung điểm của đoạn thẳng . BC 3. Gọi F là giao điểm của QK và , AM E là giao điểm CD và . OM Chứng minh tứ giác FEQO là hình bình hành. Khi M thay đổi trên , ∆ tìm giá trị lớn nhất của . QF EO +

Câu IV. (1,5 điểm)

1. Giải phương trình 3 2 3 2021 x y x z + − + = với ,x y và z là các số nguyên. 2. Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Bên trong hình vuông người ta lấy tùy ý 2021 điểm phân biệt 1 2 2021 , ,..., A A A sao cho 2025 điểm 2 1 2021 , , , , , , ..., A B C D A A A không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng từ 2025 điểm trên luôn tồn tại 3 điểm

là 3 đỉnh của hình tam giác có diện tích không quá 1 . 4044

Câu V. (1,0 điểm) Cho ba số thực dương , , x y z thỏa mãn 1. x y z + + ≤ Chứng minh rằng

2 2 2 1 1 1 1 1 1 512. x y z       − − − ≥            

--- HẾT--- Họ và tên thí sinh:……………….……………………Số báo danh:.................................... Cán bộ coi thi số 1………………………..…………Cán bộ coi thi số 2…………….....................

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ NAM

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

Năm học 2021-2022 Môn: Toán (Đề chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ NAM

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

Năm học: 2021-2022 Môn: Toán (Đề chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN CHUYÊN

(Hướng dẫn chấm thi có 05 trang)

Lưu ý: - Điểm làm tròn đến 0,25. - Các cách giải khác mà đúng cho điểm tương đương.

Nội dung Điểm Câu I. (2,0 điểm) Cho biểu thức

1 1 : 1 1 1 a ab a a a b ab S ab ab ab

  + + + + + = + +   − + −  

với 2 2 0, 0, 0 a b a b ≥ ≥ + > và 1. ab ≠

1.(1,0 điểm) Rút gọn biểu thức S ( )( ) ( )( ) 1 1 1 1 : 1 1

a ab a a b ab S ab

+ − + + + + − + + + = − −

0,25

( )( ) 1 2 2 : 1 1

a b a a ab ab

+ + + = − −

0,25

( )( )

2 2 1 1 1

a ab ab a b a

+ − = ⋅ − + +

0,25

= +

2

a b

0,25

2.(1,0 điểm) Tính giá trị của biểu thức S với 3 2 2 a = + và 11 6 2. b = −

( )

2 3 2 2 1 2 1 2. a a = + = + ⇒ = + 0,5

( ) = − = − ⇒ = − = − 2 11 6 2 3 2 3 2 3 2. b b 0,25

= = + + −

2 1 . 2 1 2 3 2 S 0,25

Câu II (2,0 điểm)