Đề thi vào 10 môn Toán (chuyên) năm 2021 - 2022 trường chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO

KHÁNH HÒA

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN

Năm học: 2021 – 2022 Môn thi: TOÁN (CHUYÊN)

Ngày thi: 04/06/2021 Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1. (2,00 điểm) a) Không dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị biểu thức

    3 2 2 1 10 6 3 2 1 10 6 3

2 2 2 3 2 2 2 3 T

         

.

b) Với mọi số nguyên dương n , chứng minh 2 2 2 2 ( 1) ( 1) A n n n n      là số nguyên dương

nhưng không là số chính phương.

Câu 2. (2,00 điểm) Cho các phương trình ( ẩn x)  2 0 1 ax bx c    và  2 0 2 cx bx a    với a b c , , là các

số thực dương thỏa mãn 4 0 a b c    . a) Chứng minh các phương trình  1 và  2 đều có hai nghiệm dương phân biệt.

b) Gọi 1 2 ; x x là hai nghiệm của phương trình  1 và 3 4 ; x x là hai nghiệm của phương trình  2 .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1 2 3 2 3 4 3 1 1 4 1 2

1 1 1 1 T x x x x x x x x x x x x     .

Câu 3. (1,50 điểm) a) Phân tích đa thức 3 2 3 ( , ) 4 3 P x y x xy y    thành nhân tử. Từ đó chứng minh

2 3 2 4 3 x y xy   với mọi số thực ;x y thỏa mãn 0 x y   .

b) Cho các số thực 1 2 21 ; ; , x x x  thỏa mãn 1 2 21 ; ; : 2 x x x   và 3 3 3 3 1 2 3 21 12 x x x x     .

Chứng minh 1 2 21 18 x x x   

Câu 4. ( 3,00 điểm) Cho ABC  vuông tại A . Các đường tròn  O đường kính AB , và ( )I đường kính AC cắt

nhau tại điểm thứ hai là   H H A  . Đường thẳng  d thay đổi đi qua A cắt đường tròn  O

tại M và cắt đường tròn  I tại N ( A nằm giữa hai điểm M và N ).

a) Đoạn thẳng OI lần lượt cắt các đường tròn ( ) O , ( I ) lần lượt tại , D E . Chứng minh OI là đường trung trực của đoạn thẳng AH và 2 AB AC BC DE    .

b) Chứng minh giao điểm S của hai đường thẳng OM và IN di chuyển trên một đường tròn cố định khi đường thẳng (d) quay quanh#A.

c) Giả sử đường thẳng MH cắt đường trong  I tại điểm thứ hai là ( ) T T H  . Chứng minh

rằng ba điểm , , N I T thẳng hàng và ba đường thẳng , , MS AT NH đồng quy.

Câu 5. (1,50 điểm) a) Hai số tư nhiên khác nhau được gọi là "thân thiết" nếu tổng bình phương của chúng chia hết cho 3. Hỏi tập họp {1;2;3; ;2021} X   có bao nhiêu cặp số "thân thiết" (không phân biệt thứ tự)?

(Đề thi có 01 trang)

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

b) Trong kỳ thi chọn đội tuyển năng khiếu của trường T có n môn ( , 5) n n    , mọi môn thi đều có thí sinh tham gia và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

- Có ít nhất 5 môn có số lượng thí sinh tham gia thi đôi một khác nhau;

- Với 2 môn thi bất kì, luôn tìm được 2 môn thi khác có tổng số lượng thi sinh tham gia bằng với tổng số lưọng thí sinh của 2 môn đó. Hỏi kỳ thi có ít nhất bao nhiêu môn được tổ chức?

____________________ HẾT ____________________

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM

Bài Ý Đáp án Điểm

Câu 1

(2,00 điểm)

a)

Không dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị biểu thức

    3 3 2 1 10 6 3 2 1 10 6 3

2 2 2 3 2 2 2 3 T

         

.

1,00

   

   

3 3

3 3

2 1 10 6 3 2 1 10 6 3

2 2 2 3 2 2 2 3

2 1 10 6 3 2 1 10 6 3

4 4 2 3 4 4 2 3

T

         

         

 

 

2

2

4 2 3 3 1 3 1

4 2 3 3 1 3 1

    

    

0,25

 

 

3 3 3

3 3 3

10 6 3 1 3 1 3

10 6 3 1 3 1 3

   

   

0,25

Suy ra

   

     

     

2 1 1 3 2 1 1 3

4 3 1 4 3 1

4 2 3 4 2 3 5 3 5 3

4 2 3 5 3 4 2 3 5 3

5 3 5 3 5 3 5 3

14 6 3 14 6 3 22 22 28 14 22 11

T

       

     

         

   

 

Vậy 14 11 T 

0,50

b)

Với mọi số nguyên dương n, chứng minh

    2 2 2 2 1 1 A n n n n      là số nguyên dương

nhưng không phải là số chính phương.

1,00