Đề thi vào 10 chuyên môn Toán (chuyên) năm 2021 - 2022 sở GDĐT Kiên Giang

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

KIÊN GIANG NĂM HỌC 2021 – 2022

ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN (chuyên)

(Đề thi gồm 02 trang) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 05/06/2021.

Bài 1 (1,5 điểm). Cho biểu thức 2 2 2 1 2 3 2 x x x x A

x x x x         

(với 0, 1 x x  , và 4 x  )

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tính giá trị biểu thức A tại 3 2 2 x   .

Bài 2 (1,0 điểm) Tìm tất cả các số thực ,a b sao cho phương trình (ẩn x ) 2 0 x ax b    có hai

nghiệm là 3

a và 1

2 a  .

Bài 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình sau:

3 2 2 2 0

1 16 3

x y x x y

x y

         

Bài 4 (1,0 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 8. Trên cạnh BC , lấy điểm M sao cho

5 BM  . Gọi N là giao điểm của đường thẳng CD và đường thẳng vuông góc với AM tại A . Gọi I là trung điểm của MN . Hãy tính độ dài đoạn thẳng DI .

Bài 5 (2,5 điểm). Cho    1 2 , O O là hai đường tròn, cắt nhau tại điểm , A M , sao cho 1 2 O AO  là

góc tù. Tiếp tuyến tại A của   1 O cắt   2 O tại điểm thứ hai B (khác A ). Tiếp tuyến tại A của

  2 O cắt   1 O tại điểm thứ hai D (khác A ).

a) Trên cung AD không chứa M của   1 O , lấy điểm K , khác A và D , sao cho đường thẳng

KM cắt cung AB không chứa M của   2 O tại điểm L , khác A và B . Chứng minh rằng

đường thẳng AK song song với đường thẳng BL .

b) Gọi C là điểm đối xứng của A qua M . Chứng minh rằng ABCD là tứ giác nội tiếp.

Bài 6 (1,5 điểm)

a) Cho , , m p r là các số nguyên tố thỏa mãn 1 mp r  . Chứng minh rằng 2 m r  hoặc 2 p r  là số chính phương.

b) Tìm tất cả các số nguyên tố q , sao cho tồn tại số nguyên dương n để 2 22 n q  là một lũy thừa với số mũ nguyên dương của 11.

Bài 7 (1,0 điểm). Có bốn căn phòng nằm liên tiếp nhau, thành một hàng ngang. Có một con chuột trốn trong các căn phòng đó; mỗi ngày nó trốn trong một căn phòng. Có một chú mèo tìm cách bắt con chuột này. Cứ mỗi tối, mèo ta vào một căn phòng, và nếu con chuột đang trốn ở căn phòng ấy thì nó sẽ bị mèo bắt. Biết rằng, nếu chưa bị mèo bắt mỗi sáng, con chuột lại chạy sang trốn ở căn phòng nằm ngay bên cạnh. Hỏi chú mèo có thể đảm bảo chắc chắn sẽ bắt được con chuột sau tối đa bốn tối hay không? Vì sao?

Bài 8 (0,5 điểm). Cho , , x y z là các số thực lớn hơn 2021, thỏa mãn 1 1 1 2 2021 x y z    . Chứng

minh rằng, ta có bất đẳng thức sau:

2021 2021 2021 x y z x y z         .

____________________ HẾT ____________________

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI THAM KHẢO

Bài 1.

a) (1,0 điểm) Rút gọn biểu thức

Ta có:

( 2) 2( 1) (2 2) ( 1)( 2)

2 2 2 2 2 ( 1)( 2)

2 4 2( 2) 2 ( 1)( 2) ( 1)( 2) 1

x x x x x x A

x x

x x x x x x x x x

x x x x x x x

      

 

      

 

         

b) (0,5 điểm)

ta có 2 3 2 2 ( 2 1) x    

do đó:

2 2 2 2 2 1 1 ( 2 1) 1 A      

Bài 2. (1,0 điểm) Theo định lí Vi-ét (thuận và đảo), ,a b là các số thực thỏa mãn yêu cầu đề bài khi và chỉ khi :

2 (1)

1 (2) 3 2 1 (3) 3 2

a

a a a a b a

             

Với a thỏa mãn (1) ta có 2 1 3 (2) 4 8 3 0 , 2 2 a a a a       

Thay 1 2 a   vào (3) ta được 1 9 b  

Thay 3 2 a   vào (3) ta được 1 b 

Vậy có tất cả hai cặp số thực ,a b thỏa mãn yêu cầu là 1 1 3 ; , ; 1 2 9 2             

.

Bài 3. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình sau: