Đề thi vào 10 môn Toán (chung) năm 2021 - 2022 trường chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định (Đề 1)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NAM ĐỊNH

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG

NĂM HỌC 2021-2022. Môn thi: Toán (chung) - Đề 1

Dành cho học sinh thi vào các lớp chuyên tự nhiên

Thời gian làm bài: 120 phút.

(Đề thi gồm: 01 trang)

Câu 1. (2,0 điểm)

1) Tìm điều kiện xác định của biểu thức

2 1. 5 1 x P x + = −

2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng 2 1 y m x m = + − ( 0 m ≠ ) và đường thẳng 9 2 y x = + song song.

3) Tính diện tích tam giác ABC đều cạnh bằng 2 3 . cm 4) Tính thể tích của hình nón có đường sinh bằng 5cm và bán kính đáy 3cm.

Câu 2. (1,5 điểm) Cho biểu thức

2

2 3 1 1 25 . 1 1 x x x x Q x x x x x x

  + + +   = + −      − + +   −  

với 0; 1. x x > ≠

1) Rút gọn biểu thức . Q 2) Tìm x để biểu thức Q đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 3. (2,5 điểm)

1) Cho phương trình ( ) 2 2 2 1 3 0 (1) x m x m − + + + = (với m là tham số).

a) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm. b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x thỏa mãn 1 2 1 . x x < <

2) Giải phương trình 2 1 2 1 8 4 0. x x x x + + + − + + = Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ( ) ABC AB AC > nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AP . Các đường cao BE và CF cắt nhau tại H .

1) Chứng minh rằng tứ giác BCEF nội tiếp và . . . AE AC AF AB = 2) Gọi , K I lần lượt là trung điểm của EF và AH . Chứng minh IK song song với . AP 3) Gọi M là giao điểm của IK và BC ; N là giao điểm của MH với cung nhỏ AC của đường tròn (O).

Chứng minh rằng  . HMC HAN = Câu 5. (1,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình

( ) 2 2

2 2

8 3 1

13 9 . 9

x y y x y

x y

 + = − +  + = 

2) Cho , , x y z là các số dương thỏa mãn 1 1 1 2021 x y z + + ≤ . Chứng minh rằng

2 2 2 2 2 2 1 1 1 2021. 3 7 2 4 7 2 4 7 2 4 x xy y y yz z z zx x + + ≤ − + − + − +

--------HẾT---------

Họ và tên thí sinh:................................................Họ tên, chữ ký GT 1:................................................. Số báo danh:.........................................................Họ tên, chữ ký GT 2:..................................................

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NAM ĐỊNH

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI ĐỀTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN

Năm học 2021– 2022. Môn thi: Toán (chung) - Đề 1 Dành cho học sinh thi vào các lớp chuyên tự nhiên

(Hướng dẫn chấm gồm: 05 trang)

Câu Nội dung Điểm

Câu 1

Câu 1. (2,0 điểm)

1) Tìm điều kiện xác định của biểu thức

2 1. 5 1 x P x + = −

2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng 2 1 y m x m = + − ( 0 m ≠ ) và đường thẳng 9 2 y x = + song song.

3) Tính diện tích tam giác ABC đều cạnh bằng 2 3 . cm 4) Tính thể tích của hình nón có đường sinh bằng 5cm và bán kính đáy 3cm.

1)

Biểu thức xác định khi và chỉ khi

2 1 0 5 1 x x + ≥ − 0,25

1 5 1 0 5 x x ⇔ −> ⇔ > (vì 2 1 0, x x + > ∀) 0,25

2)

Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi

2 9 1 2 m m

 =  −≠ 

0,25

3 3 3

m m m

= ±  ⇔ ⇔ = −  ≠ 

0,25

3)

Gọi AM là đường cao tam giác ABC, tính được 3 AM cm = 0,25

2 1 1 . .3.2 3 3 3 . 2 2 ABC S AM BC cm ⇒ = = = 0,25

4)

Hình nón có chiều cao 2 2 5 3 4 h cm = − = 0,25

Thể tích hình nón là 2 3 1 3 .4 12 3 V cm π π = = 0,25

Câu 2

Câu 2. (1,5 điểm) Cho biểu thức

2

2 3 1 1 25 . 1 1 x x x x Q x x x x x x

  + + +   = + −      − + +   −  

với 0; 1. x x > ≠ 1) Rút gọn biểu thức . Q 2) Tìm x để biểu thức Q đạt giá trị nhỏ nhất.

1) Với đk : 0; 1 x x > ≠, Ta có

2 1 1 25 . ( 1) 1 1 x x x Q x x x x x x x

  + + = + −   − − + +  

0,25