Đề thi vào 10 môn Toán (chuyên) năm 2021 - 2022 trường chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NAM ĐỊNH

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG

NĂM HỌC 2021-2022. Môn thi: Toán (chuyên)

Thời gian làm bài:150 phút.

(Đề thi gồm: 01 trang)

Câu 1 (2,0 điểm).

a) Cho , , a b c∈ thỏa mãn 0 a b c + + = và 2 2 2 1 a b c + + = . Tính giá trị của biểu thức

2 2 2 2 2 2 S a b b c c a = + + . b) Cho đa thức bậc hai ( ) P x thỏa mãn ( )1 1 P = , ( )3 3 P = , ( ) 7 31 P = . Tính giá trị của ( ) 10 P . Câu 2 (2,0 điểm).

a) Giải phương trình

2 2 2 7 4 1 1 x x x x x   + + = ⋅   + +  

b) Giải hệ phương trình ( ) ( ) 2 1 2 1

4 3 2 2 11 .

x x y x y

x y x

 + = + − +  + + + = − 

Câu 3 (3,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC ( ) AB AC < nội tiếp đường tròn ( ) O . Đường phân

giác trong của  BAC cắt đường tròn ( ) O tại D ( D A ≠ ). Trên cung nhỏ AC của đường tròn ( ) O lấy điểm G khác C sao cho AG GC > ; một đường tròn có tâm là K đi qua A, G và cắt đoạn thẳng AD tại điểm P nằm bên trong tam giác ABC . Đường thẳng GK cắt đường tròn ( ) O tại điểm M ( M G ≠ ). a) Chứng minh các tam giác KPG , ODG đồng dạng với nhau. b) Chứng minh , GP MD là hai đường thẳng vuông góc. c) Gọi F là giao điểm của hai đường thẳng OD và KP , đường thẳng qua A và song song với BC cắt đường tròn ( ) K tại điểm E ( E A ≠ ). Chứng minh rằng tứ giác DGFP là tứ giác nội

tiếp và  0 90 EGF = . Câu 4 (1,5 điểm).

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( ) ;x y thỏa mãn ( ) 2 2 2 5 27 x y y x xy − = − .

b) Cho 1 2 12 , , , p p p … là các số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng

2 2 2 1 2 12 p p p + + +  chia hết cho 12. Câu 5 (1,5 điểm).

a) Cho , , 0 a b c > và 1 a b c + + = . Chứng minh rằng 2 a bc b ca c ab b c c a a b + + + + + ≥ + + + .

b) Xét hai tập hợp , A B khác ∅ thỏa mãn A B = ∅  và

* A B =  . Biết rằng A có vô

hạn phần tử và tổng của mỗi phần tử thuộc A với mỗi phần tử thuộc B là phần tử thuộc B. Gọi

x là phần tử bé nhất thuộc B thỏa mãn 1 x ≠. Hãy tìm x. --------- HẾT --------- Họ và tên thí sinh:…………………………….. Số báo danh:…………………………………..

Họ tên, chữ ký GT 1:………………………………. Họ tên, chữ ký GT 2:………………………...……..

Trang 1/5-Đáp án

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NAM ĐỊNH

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN

Năm học 2021– 2022. Môn thi: TOÁN (chuyên)

(Hướng dẫn chấm gồm: 05 trang) Câu 1 (2,0 điểm).

a) Cho , , a b c∈ thỏa mãn 0 a b c + + = và 2 2 2 1 a b c + + = . Tính giá trị của biểu thức

2 2 2 2 2 2 S a b b c c a = + + . b) Cho đa thức bậc hai ( ) P x thỏa mãn ( )1 1 P = , ( )3 3 P = , ( ) 7 31 P = . Tính giá trị của ( ) 10 P .

Ý Nội dung Điểm

1a 1,0đ

+ Ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 0 2( ) 1 2 a b c a b c ab bc ca ab bc ca = + + = + + + + + = + + +

suy ra 1 2 ab bc ca + + = − .

0,5

+ Từ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 ab bc ca a b b c c a abc a b c + + = + + + + +

suy ra 2 2 2 2 2 2 1 4 S a b b c c a = + + = .

0,5

1b 1,0đ

+ Đặt ( ) 2 P x ax bx c = + + thì có hệ

( ) ( ) ( )

1 1

9 3 3 3

49 7 7 31

a b c P

a b c P

a b c P

+ + = =  + + = =   + + = = 

. 0,5

+ Giải hệ được 1 a = , 3 b = −, 3 c = . 0,25 + Suy ra ( ) 2 3 3 P x x x = − + nên ( ) 2 10 10 3.10 3 73 P = − + = . 0,25 Cách khác: + Thấy ( ) P x x − có nghiệm là 1, 3 x x = = nên có ( ) ( )( ) 1 3 P x x a x x − = − − .

+ Từ ( ) 7 31 P = nên ( )( ) 31 7 7 1 7 3 1 a a − = − − ⇔ = .

+ Vậy ( ) ( )( ) ( ) 1 3 10 73 P x x x x P = − − + ⇒ = .

Câu 2 (2,0 điểm).

a) Giải phương trình

2 2 2 7 4 1 1 x x x x x   + + =   + +  

.

b) Giải hệ phương trình ( ) ( ) 2 1 2 1

4 3 2 2 11 .

x x y x y

x y x

 + = + − +  + + + = − 

Ý Nội dung Điểm

2a 1,0đ

+ Điều kiện xác định 1 x ≠−.

+ PT cho tương đương với

2 2 2 7 2 4 1 1 1 x x x x x x x   − + = −   + + +  

0,25