Đề tuyển sinh lớp 10 chuyên môn Toán (chuyên) năm 2021 - 2022 sở GDĐT Vĩnh Long

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN TỈNH VĨNH LONG Năm học: 2021 - 2022 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu 1. (2,0 điểm)

a) Cho biểu thức 2 1

     x x x A

x x x

và 1 1 1     x x B

x

với 0, 1.   x x Rút gọn A và chứng

minh B > A. b) So sánh 24 26  và 10. Câu 2. (1,0 điểm) Cho Parabol (P): 2  y x và đường thẳng (d):   1 4     y m x m (m là tham số). Tìm m để (d) cắt

(P) tại 2 điểm nằm về 2 phía của trục tung. Câu 3. (1,5 điểm) a) Giải phương trình: 43 1    x x

b) Giải hệ phương trình:

1 2

3 2 2

           

x x x y y y x y

Câu 4. (1,5 điểm) a) Chứng minh rằng tổng các bình phương của 6 số nguyên liên tiếp không thể là số chính phương. b) Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình: 2 2 32    x y xy y x Câu 5. (1,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD và điểm E trên cạnh BC biết AB = 4cm, 3 4  BE BC . Tia Ax vuông góc với AE tại

A cắt tia CD tại F. a) Tính diện tích AEF

b) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng EF, tia AI cắt CD tại K. Chứng minh: 2 .  AE KF CF Câu 6. (2,0 điểm) Cho   ; O R và điểm M sao cho OM = 2R. Kẻ các tiếp tuyến MA, MB với  O (A, B là các tiếp

điểm). Trên đoạn thẳng AB lấy điểm I (Với AI < BI và I khác A). Qua I vẽ dây CD sao cho IC = ID và C thuộc cung nhỏ AB. Tiếp tuyến của  O tại C cắt OI tại Q. Chứng minh:

a) Tứ giác OCQD nội tiếp được đường tròn. b) AMB là tam giác đều. c)  OQ MQ Câu 7. (1,0 điểm)

Cho số thực x thỏa mãn 1 2   x . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 6 3      x x T x x

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = Hết = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

--------------------------------------------

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1. (2,0 điểm)

a) Cho biểu thức 2 1

     x x x A

x x x

và 1 1 1     x x B

x

với 0, 1.   x x Rút gọn A và chứng

minh B > A. b) So sánh 24 26  và 10.

Lời giải

a) Với 0, 1.   x x Ta có:    

2 1 2 1 1 1

         

x x x x x x A

x x x x x x

2 1 2 1 1 1 1 1            x x x x x x x x

và      1 1 1 1 1 1 1 1 1

            

x x x x x B x x x x x x

Ta lại có:    

2 1 2 1 1 0           B A x x x x x x với 0, 1.   x x

  B A (đpcm)

b) Ta co:  

2 2 24 26 24 26 2. 24.26 50 2. 624 50 2. 625 100 10          

24 26 10   

Câu 2. (1,0 điểm) Cho Parabol (P): 2  y x và đường thẳng (d):   1 4     y m x m (m là tham số). Tìm m để (d) cắt

(P) tại 2 điểm nằm về 2 phía của trục tung.

Lời giải

Xét PT hoành độ giao điểm:      2 2 1 4 1 4 0 *           x m x m x m x m

Ta có:         2 2 2 2 1 4 4 2 1 4 16 2 1 16 1 16 0                   m m m m m m m m m

 pt (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt hay (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt m

Theo Vi-et ta có: 1 2

1 2

1

4

       

x x m

x x m

Để (d) cắt (P) tại 2 điểm nằm về 2 phía của trục tung thì pt (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt trái dấu hay:

4 0 4      m m

Câu 3. (1,5 điểm) a) Giải phương trình: 43 1    x x

b) Giải hệ phương trình:

1 2

3 2 2

           

x x x y y y x y

Lời giải

a) ĐK: 43 0 43    x x

Phương trình

     2 2 2 1 0 1 1 43 1 43

7 7 6 0 43 2 1 42 0 43 1

                                            

x x x x

x x x x x x x x x x