Đề vào lớp 10 môn Toán (chung) năm 2022 - 2023 trường chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định

Trang 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NAM ĐỊNH

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG

NĂM HỌC 2022 - 2023

Môn thi: TOÁN (chung) – ĐỀ 2

Thời gian làm bài: 120 phút

(không kể thời gian phát đề)

Câu 1. (2,0 điểm)

1) Tìm điều kiện xác định của biểu thức 2 2 1 2 x A x − = + .

2) Tìm tọa độ điểm M là giao điểm của đường thẳng 2 4 y x = + với trục Ox .

3) Biết hình tròn có chu vi là 4 cm π . Tính diện tích hình tròn đó.

4) Cho khối trụ có chiều cao bằng 4 cm và bán kính đáy bằng 6 cm. Tính thể tích của khối trụ đó.

Câu 2. (1,5 điểm)

Cho biểu thức 2 3 3 4 : 1 2 1 2 1 x x P x x x x x

  − + = −   − − + + +  

(với 0 x ≥ và 1 x ≠)

1) Rút gon biểu thức P .

2) Tìm x sao cho 2 P x + = .

Câu 3. (2,5 điểm)

1) Cho phương trình 2 ( 2) 1 0 x m x m − + + + = (1) (với m là tham só).

a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

b) Gọi 2 , ix x là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1). Tìm tất cả các giá tri thực của tham số m để 2 2 1 2 10 x x + = .

2) Giải hệ phương trình 2

3 2( 2)

x xy y

x y xy y

= −   + = − + 

.

Câu 4. (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn ( ) AB AC < nội tiếp đường tròn tâm O . Tiếp tuyến tại A của ( ) O cắt đường thẳng BC tại M . Gọi I là trung điểm của BC và D là điểm đối xứng với A qua OM , giao điểm của AD và OM là H .

1) Chứng minh tứ giác MAOI nội tiếp và 2 . MD MB MC = .

2) Giả sử tiếp tuyến tại B của đường tròn ( ) O cắt OI tại F . Chứng minh tam giác OMI và tam giác OFH đồng dạng, từ đó suy ra ba điểm , , A D F thẳng hàng.

3) Chứng minh rằng tứ giác BHOC nội tiếp và HB MC MB HC ⋅ = ⋅ .

Câu 5. (1,0 điểm)

1) Giải phương trình 2 3 1 3 2 3 x x x x x + + + − = − + − .

Trang 2

2) Xét hai số thực ,x y thay đổi luôn thoả mãn điều kiện 2 x y + ≥ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức ( ) 2 2 8 4 2 1 P x y x y = + + + + .

_____ THCS.TOANMATH.com _____

Trang 3

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1. (2,0 điểm)

1) Tìm điều kiện xác định của biểu thức 2 2 1 2 x A x − = + .

2) Tìm tọa độ điểm M là giao điểm của đường thẳng 2 4 y x = + với trục Ox .

3) Biết hình tròn có chu vi là 4 cm π . Tính diện tích hình tròn đó.

4) Cho khối trụ có chiều cao bằng 4 cm và bán kính đáy bằng 6 cm. Tính thể tích của khối trụ đó.

Lời giải

1) Biểu thức A xác định khi và chỉ khi 2 1 0

2 0

x

x

−≥   + ≠ 

1 x ⇔ ≥.

2) Toạ độ điếm M là nghiệm của hệ 2 4 2

0 0

y x x

y y

 = + = −  ⇔   = =  

.

Vây ( 2;0) M −

3) Gọi R là bán kính của đường tròn.

Khi đó ta có 2 4 2 R R π π = ⇔ = .

Vậy diện tích của hình tròn là ( ) 2 2 4 cm S R π π = = .

4) Thể tích của khối trụ là ( ) 2 2 3 .6 .4 144 V R h cm π π π = = = .

Câu 2. (1,5 điểm)

Cho biểu thức 2 3 3 4 : 1 2 1 2 1 x x P x x x x x

  − + = −   − − + + +  

(với 0 x ≥ và 1 x ≠)

1) Rút gon biểu thức P .

2) Tìm x sao cho 2 P x + = .

Lời giải

1) Với 0 x ≥ , 1 x ≠ ta có:

( )( ) ( )

( )

2

2 1 3 3 4 1 1 1

x x x P x x x

  − − +   = − ⋅   − + +    

( )( ) ( )( )

( )( )

( )

2

2 3 1 3 1 1 . 4 1 1

x x x x x

x x

  − + − + − −   =   − +    

( )( )

( ) ( )

2 2

2 1 1 4 . 4 1 1

x x x

x x

− + = − +

( ) 1 x x x x = ⋅ − = − .

2) Theo câu 2.1) thì với 0 x ≥ và 1 x ≠ ta có P x x = − .