Đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên môn Toán năm 2022 - 2023 sở GDĐT Bình Dương

1 / 6

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TỈNH BÌNH DƯƠNG Năm học: 2022 - 2023 Môn thi: TOÁN (Chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Bài 1. (2,5 điểm)

Cho biểu thức 2 : 2

a a a a a b ab A b a b a a b a b a b ab

   + + = + − −       − − + + + +   

với a và b

là các số thực dương khác nhau.

a) Rút gọn biểu thức A .

b) Tính giá trị của : 2

a a a a B b a a b a b a b ab

   = + −       − + + + +   

khi 7 4 3 a = − và

7 4 3 b = + .

Bài 2. (2,0 điểm)

Cho phương trình 2 2 2 0 x mx m − + − = ( m là tham số). a) Tìm tất cả các giá trị m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt dương.

b) Gọi 1 2 , x x là các nghiệm của phương trình. Tìm m để biểu thức 2 2 1 2 1 2

2022 6 M x x x x − = + −

đạt giá

trị nhỏ nhất. Bài 3. (2,0 điểm)

a) Giải phương trình: ( ) 1 1 1 x x x x + − + − = với x ∈.

b) Chứng minh rằng: 7 A a a = − chia hết cho 7 , với mọi a ∈. Bài 4. (3,5 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC ( AB AC < ) nội tiếp đường tròn ( ) O , M là trung điểm BC ; , BE CF

là các đường cao ( , E F là chân các đường cao). Các tiếp tuyến với đường tròn tại B và C cắt nhau tại

S . Gọi , N P lần lượt là giao điểm của BS với , EF AS với ( ) O ( P A ≠ ). Chứng minh rằng:

a) MN BF ⊥ . b) . . AB CP AC BP = .

c)   CAM BAP = . = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Hết = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

2 / 6

Hướng dẫn giải: Bài 1. (2,5 điểm)

Cho biểu thức 2 : 2

a a a a a b ab A b a b a a b a b a b ab

   + + = + − −       − − + + + +   

với a và b

là các số thực dương khác nhau.

a) Rút gọn biểu thức A .

b) Tính giá trị của : 2

a a a a B b a a b a b a b ab

   = + −       − + + + +   

khi 7 4 3 a = − và

7 4 3 b = + .

Lời giải a) Với ,a b là các số thực dương khác nhau, ta có:

2 : 2

a a a a a b ab A b a b a a b a b a b ab

   + + = + − −       − − + + + +   

( )( ) ( )

( ) ( )( )

2

2 : a b a a a a

a b a b a b a b a b a b a b

    +     = − − +     + + + − + −   +   

( ) ( )( )

( )

( )

( ) ( )( )

2

2 : a a b a a a b a a b

a b a b a b a b a b

− − + − + = + + − + − +

( )( ) ( )

( ) ( )( )

2

2 : a b a ab a a ab a

a b a b a b a b a b

+ − − + − = + + − + − +

( )( )

( ) ( ) ( )( )

2 2

. a b a b ab

ab a b a b a b a b

+ + − = + + − + −

( ) 0 a b a b

a b a b

− + + = + = − −

.

Vậy 0 A = . b) Theo a), ta có:

: 2

a a a a a b B b a a b a b a b ab a b

   − − = + − =       − + + + + −   

.

Khi 7 4 3 a = − và 7 4 3 b = + thỏa mãn ,a b là các số thực dương khác nhau, ta có:

( )

2 7 4 3 2 3 2 3 2 3 a = − = − = − = − ;

( )

2 7 4 3 2 3 2 3 2 3 b = + = + = + = + ;

3 / 6

2 3 2 3 4 2 2 3

3 2 3 2 3 2 3 3 B −+ − − − ⇒ = = = = − − − −

;

Vậy 2 3 3 B = khi 7 4 3 a = − và 7 4 3 b = + .

Bài 2. (2,0 điểm)

Cho phương trình 2 2 2 0 x mx m − + − = ( m là tham số). a) Tìm tất cả các giá trị m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt dương.

b) Gọi 1 2 , x x là các nghiệm của phương trình. Tìm m để biểu thức 2 2 1 2 1 2

2022 6 M x x x x − = + − đạt giá

trị nhỏ nhất.

Lời giải

Cho phương trình 2 2 2 0 x mx m − + − = ( m là tham số) (1). a) Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt dương thì:

( ) ( ) 2 2 2 0 1 2 0 2 0 1 7 0 0 2 0 0 2 2 4 2 0 2 2 0

m m m m m b m m m a m m M c a

 ′ ∆> − − − >  − + >      − + > −      > ⇔ > ⇔ > ⇔ ⇔ >          − > > >      > 

.

Vậy 2 m > thì (1) có hai nghiệm phân biệt dương.

b) Phương trình (1) có

2 1 7 0 2 4 m   ′ ∆= − + >    

với mọi m ⇒ (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

1 2 ; x x với mọi m , theo hệ thức Vi-et, ta có:

1 2

1 2

2

2

x x m

x x m

+ =   = − 

.

( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2022 2022 2022 2022 6 4 8 16 8 2 8 2 M x x x x m m x x x x m m

− − − − ⇒ = = = = + − − + + − − −

( )

2 2022 2022 337 12 2 4 1 12 m

− − − = ≥ = − +

.

Vậy 337 2 MinM − = khi 1 m = .

Bài 3. (2,0 điểm)

a) Giải phương trình: ( ) 1 1 1 x x x x + − + − = với x ∈.

b) …