Đề tuyển sinh vào lớp 10 năm 2022 trường THPT chuyên KHTN - Hà Nội

Giải chi tiết đềthi Toán Điều Kiện THPT Chuyên KHTN CLB Toán Lim

Giải chi tiết đềthi Toán điều kiện trường THPT

chuyên Khoa Học TựNhiên

Nguyễn Duy Khương - Nguyễn Hoàng Việt - Trịnh Đình Triển - Khôi Hà - Nguyễn

Văn Hoàng - Nguyễn Khang

1 Câu I

1) Giải hệphương trình  

 6(xy+5)+ x3y+5x2 = 42

x3 +5x2y+6x+30y = 42

2) Giải phương trình ³ 3p

x+6+ 3p

3−x ´³ 2+3 3p

(x+6)(3−x) ´ = 24.

Lời giải.

1) Trừtheo 2 vếphương trình của hệ, ta thu được

(x−5) ¡ x2 +6 ¢ (y−1) = 0

Suy ra hoặc x = 5 hoặc y = 1. Ta xét các trường hợp:

• Nếu x = 5, thay vào phương trình thứnhất của hệsuy ra

6(5y+5)+53y+5ã52 = 42,

hay là

155y+113 = 0 ⇒y = −113

155.

• Nếu y = 1, thay vào phương trình thứhai của hệsuy ra

x3 +5x2 +6x+30 = 42,

dễnhẩm được nghiệm x = 1, từđó sửdụng lược đồHoocner ta sẽ

phân tích được thành

(x−1) ¡ x2 +6x+12 ¢ = 0.

Mặt khác x2 +6x+9 > 0∀x ∈R ⇒x = 1.

1 05/6/2022

Giải chi tiết đềthi Toán Điều Kiện THPT Chuyên KHTN CLB Toán Lim

Kết luận ta tìm được 2 cặp giá trị(x, y) thỏa mãn là (x, y) = µ 5,−113

155

¶ ,(1,1).

2) Đặt 3p

x+6 = a, 3p

3−x = b ⇒a3 + b3 = 9 hay là (a+ b)(a2 −ab + b2) = 9.

Theo đềbài ta có

(a+ b)(2+3ab) = 24

Suy ra

(a+ b) ¡ a2 −ab + b2¢ +(a+ b)(2+3ab) = 33.

Hay là

(a+ b) £ (a+ b)2 +2 ¤ = 33.

Đặt t = a+ b ⇒t(t2 +2) = 33 ⇔(t−3) ¡ t2 +3t+11 ¢ = 0.

Lại có t2 +3t+11 > 0∀t ∈R ⇒t = 3, hay a+ b = 3.

Kết hợp (a+ b)(2+3ab) = 24 ⇒2+3ab = 8 ⇒ab = 2.

Ta có  

 a+ b = 3

ab = 2

Nên theo định lí V iet đảo, a,b là 2 nghiệm của phương trình bậc 2:

X 2 −3X +2 = 0 ⇔X = 1, X = 2.

Xét hai trường hợp như sau:

• Trường hợp 1: a = 1,b = 2 ⇒

 



3p

x+6 = 1

3p

3−x = 2 ⇒x = −5.

• Trường hợp 2: a = 2,b = 1, dễdàng tìm được x = 2.

Từhai trường hợp ta có được S = {2,−5}

2 Câu II

1) Tìm tất cảcác cặp sốnguyên (x, y) thỏa mãn đẳng thức:

25y2 +354x+60 = 36x2 +305y+(5y−6x)2022

2) Trên bàn có 8 hộp rỗng (trong các hộp không có viên bi nào). Người ta

thực hiện các lần thêm bi vào các hộp theo quy tắc sau: mỗi lần chọn ra

2 05/6/2022

Giải chi tiết đềthi Toán Điều Kiện THPT Chuyên KHTN CLB Toán Lim

4 hộp bất kỳvà bỏvào 1 hộp 1 viên, 1 hộp 2 viên, 2 hộp còn lại 3 viên.

Hỏi sốlần thêm bi ít nhất có thểđểnhận được sốbi ở8 hộp trên là 8 số

tựnhiên liên tiếp ?

Lời giải.

1) Phân tích nhân tửgiảthiết ta được:

(6x−5y+1)(6x+5y−60)+(6x−5y)2022 = 0(1)

Xét 2 trường hợp:

a) Trường hợp 1: 6x−5y = 0 ⇒(6x−5y+1)(6x+5y−60) = 0 ⇒6x+5y = 60

Giải hệphương trình ta được: x = 5; y = 6 (thỏa mãn).

b) Trường hợp 2: 6x−5y ̸= 0

Khi này, do x, y ∈Z nên (6x−5y+1)(6x+5y−60)...(6x−5y)2022

Mà 6x−5y+1 và 6x−5y là 2 sốnguyên liên tiếp nên chúng nguyên

tốcùng nhau.

Suy ra 6x+5y−60...(6x−5y)2022

Đặt 6x+5y−60 = (6x−5y)2022.k(k ∈Z)

Khi này, thay vào (1) ta được:

(6x−5y)2022[k(6x−5y+1)+1] = 0

⇒k(6x−5y+1) = −1

Mà 6x−5y ̸= 0 ⇒6x−5y+1 ̸= 1

⇒k = 1;6x−5y+1 = −1 ⇒6x = 5y−2

⇒10y−62 = 22022 ⇒y = 22022 +62

10 Dễdàng nhận thấy, 22022 = 16505.4 ≡6.4 ≡4(mod10) ⇒22022 + 62 tận

cùng là 6, không chia hết cho 10.

Nên trường hợp này không có nghiệm nguyên.

Vậy x = 5; y = 6 là nghiệm nguyên duy nhất của bài toán.

2) Gọi sốbi các hộp liên tiếp lần lượt là a,a+1,··· ,a+7(a ∈N)

Khi này, tổng sốbi 8 hộp là 4(2a+7) viên.

Nhận thấy, mỗi lầm thực hiện quy tắc sửdụng 1 + 2 + 3 + 3 = 9 viên bi

3 05/6/2022