Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (vòng 2) năm 2022 trường THPT chuyên KHTN - Hà Nội

Giải chi tiết đềthi Toán Chuyên THPT Chuyên KHTN CLB Toán Lim

Giải chi tiết đềthi Toán Chuyên trường THPT

chuyên Khoa Học TựNhiên

Nguyễn Duy Khương - Nguyễn Hoàng Việt - Trịnh Đình Triển - Trương Mạnh Tuấn -

TQĐ - Nguyễn Văn Hoàng - Nguyễn Khang

1 Câu I

1) Với a,b, c là những sốthực dương thỏa mãn điều kiện 1

a + 1

b + 1

c = 1.

Chứng minh rằng:

1 2

µ 1 a+ bc + 1 b + ca + 1 c + ab

¶ =

s

abc (a+ bc)(b + ca)(c + ab)

2) Giải hệphương trình  

 2x2 +3xy+ y2 = 6

3x+2y+1 = 2 p

2x+ y+6

Lời giải.

1) Từgiảthiết suy ra ab + bc + ca = abc. Ta có: 1 a+ bc = a a2 + abc = a (a+ b)(a+ c)

Tương tự, ta có: 1 b + ca = b (b + c)(b + a); 1 c + ab = c (c + a)(c + b) Từđó suy ra :

V T = a(b + c)+ b(c + a)+ c(a+ b)

2(a+ b)(b + c)(c + a) = abc (a+ b)(b + c)(c + a) (1)

Và :

V P =

s

a2b2c2

(a+ b)2(b + c)2(c + a)2 = abc (a+ b)(b + c)(c + a) (do a,b, c > 0) (2)

Từ(1),(2), ta suy ra điều phải chứng minh.

2) Điều kiện: 2x+ y+6 ≥0. Nhân 4 vào phương trình thứnhất của hệta có

4(2x2 +3xy+ y2)−24 = 0

Phương trình thứhai của hệtương đương với  

 3x+2y+1 ≥0

(3x+2y+1)2 −4(2x+ y+6) = 0

1 06/6/2022

Giải chi tiết đềthi Toán Chuyên THPT Chuyên KHTN CLB Toán Lim

Ta viết lại thành hệmới    

  

3x+2y+1 ≥0(1)

4 ¡ 2x2 +3xy+ y2¢ −24 = 0(2)

(3x+2y+1)2 −4(2x+ y+6) = 0(3)

Lấy phương trình (3) trừđi phương trình (2), vếvới vế, ta thu được

(x−1)2 = 0 ⇒x = 1.

Mặt khác do

2x2 +3xy+ y2 = 6 ⇒y2 +3y−4 = 0 ⇒



y = 1

y = −4

• Nếu x = 1, y = 1, đối chiếu điều kiện 2x+ y+6 ≥0,3x+2y+1 ≥0 ta thấy

đều thỏa.

• Nếu x = 1, y = −4 ta có 2x+ y+6 = 4 > 0,3x+2y+1 = −4 < 0, không thỏa

mãn điều kiện (1).

Vậy chỉcó một cặp giá trị(x, y) = (1,1) là thỏa mãn.

2 Câu II

1) Tìm tất cảcác cặp sốnguyên dương (x, y) thỏa mãn đẳng thức

(x+ y)(5x+ y)3 + xy3 = (5x+ y)3 + x2y3 + xy4.

2) Với a,b, c là những sốthực dương thỏa mãn các điều kiện sau  

 c ≤b < a ≤3,b2 +2a ≤10,b2 +2a+2c ≤14 ¡ a2 +1 ¢¡ b2 +1 ¢ +4ab ≤2a3 +2b3 +2a+2b.

Tìm giá trịlớn nhất của biểu thức

P = 4a2 + b4 +2b2 +4c2.

Lời giải

2 06/6/2022

Giải chi tiết đềthi Toán Chuyên THPT Chuyên KHTN CLB Toán Lim

1) Ta biến đổi như sau

(x+ y)(5x+ y)3 + xy3 = (5x+ y)3 + x2y3 + xy4.

⇔(x+ y−1)(5x+ y)3 = xy3(x+ y−1).

Vì x, y là hai sốnguyên dương nên x+ y > 1. Do đó, ta suy ra

(5x+ y)3 = xy3.

Do đó, ta suy ra x cũng là lập phương của một sốnguyên dương. Đặt

x = z3, ta có

(5z3 + y)3 = (zy)3 ⇔5z3 + y = zy ⇔y(z −1) = 5z3.

Nếu z = 1 thì ta suy ra mâu thuẫn. Xét z ̸= 1. Khi đó, ta có z −1 | 5z3. Vì

5z3 ≡5 (mod z −1)

nên ta suy ra z −1 | 5. Từđây, ta tìm được z ∈{2;6}. Suy ra

(z, y) ∈{(2,40);(6,216)} ⇒(x, y) ∈{(8,40);(216,216)}

2) Lời giải (Trịnh Đình Triển).

Ta có: ¡ a2 +1 ¢¡ b2 +1 ¢ +4ab −2a ¡ a2 +1 ¢ −2b ¡ b2 +1 ¢ ≤0

⇔ ¡ a2 +1−2b ¢¡ b2 +1−2a ¢ ≤0 ⇔b2 +1 ≤2a

Ta có: P = (2a)2 +(b2 +1)2 +(2c)2 −1.

Do đó: P −76 = (2a−6)(2a+6)+(b2 −4)(b2 +6)+(2c −4)(2c +4)

= (2a−b2)(2a−6)+(b2−2c+2)(2a+b2−10)+(2c+4)(2a+2c+b2−14) ≤0 do

đó: P ≤76. Do đó MaxP = 76 với (a,b, c) = (3,2,2).

3 Câu III

Cho tam giác giác ABC nhọn nội tiếp (O), P thay đổi nằm trong tam giác sao

cho E,F là hình chiếu của P lên CA, AB thì BFEC nội tiếp đường tròn (K).

1) Chứng minh rằng: AP ⊥BC.

3 06/6/2022