Đề vào lớp 10 môn Toán (chuyên) 2022 - 2023 trường chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TẠO

HẢI DƯƠNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI

NĂM HỌC 2022 -2023 Môn thi: TOÁN (Chuyên) Thời gian làm bài : 150 phút, không tính thời gian phát đề

(Đề thi có 01 trang)

Câu 1 (2,0 điểm).

a. So sánh biểu thức 2 3 2 1 : 1 5 6 2 3 x x x x A x x x x x

   + + + = − + +       + − + − −   

với 5 2 − .

b. Tính giá trị của biểu thức

2024 2023

2 4 ( 1) 2 2 1 2 3 x x x x B x x + − + + = + tại 1 3 2 3 2 2 3 2 x= − − +

.

Câu 2 (2,0 điểm).

a. Giải phương trình: 1 3 1 3 1 4 x x x x − −+ = +

b. Giải hệ phương trình:

2 2

8 1 1 1 2 2 4

x y xy

x x y y

+ + =  + =  + + 

Câu 3 (2,0 điểm).

a. Tìm các cặp số nguyên ( ; ) x y thỏa mãn phương trình

2 2 2 5 62 ( 2) ( 6 8) y y y x y y x − + = − + − + . b. Cho đa thức ( ) P x với các số nguyên thỏa mãn (2021). (2022) 2023 P P = . Chứng minh rằng đa thức ( ) 2024 P x − không có nghiệm nguyên.

Câu 4 (3,0 điểm).

1. Cho đường tròn (O) và dây cung AB không đi qua tâm O. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB; D là 1 điểm thay đổi trên cung lớn AB (D khác A và B); DM cắt AB tại C. a. Chứng minh rằng MB.BD = MD.BC; b. Chứng minh rằng MB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và khi điểm D thay đổi thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD nằm trên một đường thẳng cố định. 2. Cho hình thoi ABCD có 2 AB = . Gọi R1, R2 lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và ABD. Chứng minh rằng 1 2 2 R R + ≥ .

Câu 5 (1,0 điểm). Cho , , a b c là các số thực dương thỏa mãn 2 2 4 6 a b c ab + + = . Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức

3 3 2 8 2 16 a b a b P b c a c c + = + + + + .

………… HẾT ……….

Lời giải

Câu 1

a. ĐKXĐ:

0

4

9

x

x

x

≥  ≠  ≠ 

2 3 2 1 : 1 5 6 2 3 x x x x A x x x x x

   + + + = − + +       + − + − −   

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( )

1 2 9 4 : 1 2 3 2 3 2 3

1 3 2 : 1 1 2 3

x x x x x A x x x x x x x

x x A x x x x

    + − + − −   ⇔ = + −      + − − − − − −   

− − ⇔ = = + + − −

Ta có : ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 5 1 5 2 5 7 1 2 2 1 2 1 2 1

x x x x A x x x

− + + − + + = + = = + + +

Vì 5 5 0 0 2 2 x A A ≥ ⇒ + > ⇒ > −

Vậy 5 2 A > − .

b. Vì 1 3 3 1 2 2 3 2 2 3 2 x − = − = − +

nên 3 1 2 x − = là nghiệm của đa thức 2 2 2 1 x x + −

Do đó:

2023 2

2 2 (2 2 1) 2 1 2 1 3 3 (2 2 1) 1 1 x x x x x B x x x x + − + + + = = = − + − + + + .

Câu 2.

a. ĐKXĐ:

0

1 3

x

x

> ≥− 

Phương trình đã cho đương đương với : 4 (3 1) 1 4 3 1 x x x x x − + −= +

2 12 (3 1) 4 3 1 x x x x ⇔ − + = +

Đặt 2 , 3 1 a x b x = = + ta có phương trình 2 2 3 2 ( )( 3 ) 0 3 b a a b ab b a b a b a =  − = ⇔ − + = ⇔= − 

Khi đó 3 1 2

3 1 6

x x

x x

 + =  + = − 

+) Với 3 1 2 x x + = , điều kiện 0 x > , ta có

2 2 3 1 2 3 1 4 4 3 1 0 x x x x x x + = ⇔ + = ⇔ − −=

1

1 ( ) 4

x

x KTM

=   ⇔= − 

+) Với 3 1 6 x x + = − , điều kiện 1 0 3 x − ≤ < , ta có

2 3 1 6 36 3 1 0 x x x x + = − ⇔ − −=

3 153 72 3 153 ( ) 72

x

x KTM

 − =   ⇔  + = 

Vậy phương trinh có hai nghiệm là 1 x = , 3 153 72 x − = .

b. Ta có

2 2

8 1 1 1 2 2 4

x y xy

x x y y

+ + =  + =  + +  ( ) ( ) 2 2

( 1)( 1) 9

1 1 1 4 1 1 1 1

x y

x y

+ + =   ⇔ + =  + − + − 

Đặt 1, 1 u x v y = + = +

Hệ đã cho trở thành

2 2

9 1 1 1 1 1 4

uv

u v

=  + =  − − 

, điều kiện: ( ) 1 1 u v ≠±  ∗ ≠± 

2 2 2 2 2 2 9 4( 2) 1 uv u v u v u v =  ⇔ + − = − − + 

2 2 9 9 3 ( ( )) 18 6 3 uv uv u v TM u v u v u v = = = =    ⇔ ⇔ ⇔ ∗    + = + = ± = = −   

Từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình là 2 4 ; 2 4 x x y y = = −     = = −  

.

Câu 3.

a. Ta có: 2 2 2 5 62 ( 2) ( 6 8) y y y x y y x − + = − + − +

2 2

2

2

( 5 6) 56 ( 2) ( 2)( 4)

( 2)( 3) 56 ( 2) ( 2)( 4)

( 2)( 4 3) 56 ( 1)( 2)( 3) 56

y y y x y y x

y x yx x y x y x y

⇔ − + + = − + − −

⇔ − − + = − + − −

⇔ − + − − + = ⇔ − − + − =

Nhận thấy ( 2) ( 1) 3 y x x y − + − = + −, nên ta phải phân tích số 56 thành tích của 3 số nguyên mà tổng 2 số đầu bằng 2 số còn lại. Như vậy, ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( …