Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2022 - 2023 trường chuyên Sơn La

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

SƠN LA

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

NĂM HỌC 2022 - 2023 MÔN THI: TOÁN (Chuyên)

Ngày thi: 07/06/2022 Thời gian làm bài: 150 phút

ĐỀ BÀI: Câu 1. (2,0 điểm)

Cho biểu thức: ( ) 2 5 3 : 1 0 ; 1 ; 4 4 1 2

x A x x x x x x x

+    = + − ≥ ≠ ≠     − + − −    

a) Rút gọn biểu thức .A b) Tìm các giá trị nguyên của x để A đạt giá trị nguyên. Câu 2. (2,0 điểm)

a) Giải hệ phương trình: 2 2 2 1 0

4 3 1

y x

x xy y

− −=   − + = 

b) Giải phương trình: ( )( ) 2 2 2 7 3 1 3 x x x x + + = + +

Câu 3. (2,0 điểm)

a) Tìm giá trị của tham số k để đường thẳng ( ) 1 : 2 d y x = −+ cắt đường thẳng

( ) 2 : 2 3 d y x k = + − tại một điểm nằm trên trục hoành.

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol ( ) 2 : P y x = và đường thẳng

( ): 2 1 d y mx m = − + (Với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để ( ) d cắt ( ) P tại hai điểm

phân biệt có hoành độ 1 2 ; x x thỏa mãn: 1 2 3. x x − >

Câu 4. (2,5 điểm)

Cho ABC ∆ có ba góc nhọn ( ) AB AC > nội tiếp đường tròn ( ) ; . O R Đường cao AH của

ABC ∆ cắt đường tròn ( ) ; O R tại điểm thứ hai là D . Kẻ DM AB ⊥ tại . M

a) Chứng minh tứ giác BMHD nội tiếp được đường tròn và DA là tia phân giác của  MDC . b) Từ D kẻ DN AC ⊥ tại . N Chứng minh ba điểm , , M H N thẳng hàng.

c) Cho 2 2 2 2 P AB AC BD CD = + + + . Tính giá trị biểu thức P theo R . Câu 5. (1,0 điểm)

a) Cho ,x y

là các số thực dương thỏa mãn: ( )( ) 2 2 1 1 2. x x y y + + + + = Tính giá trị biểu

thức 2 2 1 1. Q x y y x = + + +

b) Cho ,x y

là các số thực dương thỏa mãn:

2 2 4 4 17 5 5 1. x y xy x y + + + + ≥ Tính giá trị nhỏ

nhất của biểu thức

2 2 17 17 16 . P x y xy = + +

--------Hết--------

LỜI GIẢI ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TỈNH SƠN LA

NĂM HỌC 2022 – 2023 Câu 1. (2,0 điểm)

Cho biểu thức: ( ) 2 5 3 : 1 0 ; 1 ; 4 4 1 2

x A x x x x x x x

+    = + − ≥ ≠ ≠     − + − −    

a) Rút gọn biểu thức .A b) Tìm các giá trị nguyên của x để A đạt giá trị nguyên.

Lời giải:

a) Với

( )( )

0 2 5 4 3 : 1 ; 4 4 1 1 2

x x x A x x x x x

  ≥  + − −     ⇒ = +      ≠ − +   + −   

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 2 2 5 1 1 2 1 1 4 : : 4 4 1 1 2 1 2 1 2

x x x x x x x x A x x x x x x x x x

− + + + − + + − −       ⇒ = = = ⋅       − − −       + − + − + −

( ) ( )

( )( ) ( )( )

1 2 2 2

1 2 1 1

x x x x A x x x x

  + − + +   ⇒ = ⋅ =   − − − +  

Vậy 2

1

x A x

+ = −

b) Ta có: 2 1 3 3 1 1 1 1

x x A x x x

+ −+ = = = + − − −

Để A đạt giá trị nguyên ( ) { } 3 1 3 1 ; 3 1 x U x ∈ ⇒ −∈ = ± ± − 

Lập bảng:

1 x − - 1 1 - 3 3

x 0 2 - 2 4

x 0 4 16 TM Loại Loại TM

Vậy { } 0; 16 . x A ∈ ⇒ ∈

Câu 2. (2,0 điểm)

a) Giải hệ phương trình: 2 2 2 1 0

4 3 1

y x

x xy y

− −=   − + = 

b) Giải phương trình: ( )( ) 2 2 2 7 3 1 3 x x x x + + = + +

Lời giải:

a) Ta có: ( )

( ) 2 2 2 2 2 1 1 2 1 0

4 3 1 4 3 1 2

y x y x

x xy y x xy y

= +  − −=   ⇔   − + = − + =   

Thay (1) vào (2) ta được: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 3 2 1 2 1 1 4 6 3 4 4 1 1 x x x x x x x x x − + + + = ⇔ − − + + + =