Đề tuyển sinh lớp 10 chuyên môn Toán (chuyên) 2022 - 2023 sở GDĐT Gia Lai

Họ và tên thí sinh:……………..………………………..……………….; SBD……………….

Câu 1: (2,0 điểm)

a) Xác định tọa độ giao điểm của parabol ( ) 2 : 3 P y x = và đường thẳng ( ): 2 8 d y x = + .

b) Cho 1 1 1 1 1 3 3 5 5 7 2021 2023 A = + + + + + + + + 

và 2023 2 2022 . 2 5 6 20 4 B − = + − + .

Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy chứng tỏ A B > .

Câu 2: (2,0 điểm)

a) Tìm một đa thức bậc ba ( ) P x với hệ số nguyên nhận

3 2 4 3 x + = là một nghiệm và

( ) 1 6 P = −.

b) Tìm nghiệm tất cả các số nguyên ,x y thỏa mãn:

2 2 2 2 2 2 3 4 4 2 4 1 0. x y x y x xy x y y − + + − + − −= Câu 3: (2,0 điểm)

a) Giải phương trình 4 3 1 4 3 1 11 x x x x x + − + − − + + = − .

b) Giải hệ phương trình 2 2 2 8 14 4 0

7 20 2 0 8

xy x y

y xy x y

− − + =   + − + = 

.

Câu 4: (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( ) O , kẻ ba đường cao , , AD BE CF cắt nhau tại

H , lấy điểm M trên cung nhỏ BC ( , M B C ≠ ). Gọi P là điểm đối xứng với M qua . AB

a) Chứng minh:   APB ACB = và tứ giác AHBP nội tiếp một đường tròn. b) Chứng minh: H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác FDE .

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . AD BE CF T HD HE HF = + +

Câu 5: (1,0 điểm)

Cho các số thực dương , , x y z thoả mãn 1 1 1 3. x y z + + = Chứng minh rằng

2 2 2 2 1. x y z xyz + + − ≥

------------------HẾT---------------- Chữ ký giám thị 1…………………………… Chữ ký giám thị 2…………………..…………………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

GIA LAI

ĐỀ CHÍNH THỨC ( Đề thi có 01 trang)

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN

NĂM HỌC 2022 – 2023

Môn thi: TOÁN (Chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: (2,0 điểm)

a) Xác định tọa độ giao điểm của parabol ( ) 2 : 3 P y x = và đường thẳng ( ): 2 8 d y x = + .

b) Cho 1 1 1 1 1 3 3 5 5 7 2021 2023 A = + + + + + + + + 

và 2023 2 2022 . 2 5 6 20 4 B − = + − + .

Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy chứng tỏ A B > .

Lời giải

a) Phương trình hoành độ giao điểm của parabol ( ) P và đường thẳng ( ) d là

( ) 2 2 3 2 8 3 2 8 0 x x x x = + ⇔ − − = ∗.

Ta có: ( ) ( ) 2 1 3. 8 25 0 ′ ∆= − − − = > .

Suy ra ( ) ∗ có hai nghiệm phân biệt: ( ) 1 25 2 3 x −− + = = và ( ) 1 25 4 3 3 x −− − = = − .

Với 2 x = thì thay vào phương trình của ( ) P ta được 12 y = .

Với 4 3 x = − thì thay vào phương trình của ( ) P ta được 16 3 y = .

Vậy tọa độ các giao điểm của parabol ( ) P và đường thẳng ( ) d là ( ) 2 ;12 và 4 16 ; 3 3   −    

.

b) Ta có: ( )( ) 1 2 2 , 2 2 2 2

n n n n n n n n n n n

∗ + − + − = = ∀∈ + + + + + − .

Do đó, 3 1 5 3 7 5 2023 2021 2023 1 2 2 2 2 2 A − − − − − = + + + + =  .

Mặt khác, 2022 2 2022 1. 2 5 5 2 5 1 4 B − + = + − + +

( )

2 2 2022 1 . 2 5 5 1 2

  − = + − +    

( ) 2022 1. 2 5 5 1 2 − = + − +

2022 1 2 − = .

Vì 2023 2022 > nên ta có 2023 1 2022 1 2 2 − − > hay A B > .

Câu 2: (2,0 điểm)

a) Tìm một đa thức bậc ba ( ) P x với hệ số nguyên nhận

3 2 4 3 x + = là một nghiệm và

( ) 1 6 P = −.

b) Tìm nghiệm tất cả các số nguyên ,x y thỏa mãn:

2 2 2 2 2 2 3 4 4 2 4 1 0. x y x y x xy x y y − + + − + − −=

Lời giải

a) Ta có ( )

3 3 3 2 3 2 4 3 2 4 3 2 4 27 18 12 12 0 3 x x x x x x + = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − + − = .

Suy ra đa thức bậc ba ( ) P x thỏa đề có dạng ( ) ( ) 3 2 27 18 12 12 P x k x x x = − + − với k là

hằng số.

Vì ( ) 1 6 P = − nên 3 6 2 k k − = −⇔ = .

Vậy có đa thức cần tìm là ( ) 3 2 54 36 24 24 P x x x x = − + − .

b) Tìm nghiệm tất cả các số nguyên ,x y thỏa mãn:

2 2 2 2 2 2 3 4 4 2 4 1 0. x y x y x xy x y y − + + − + − −=

Ta có 2 2 2 2 2 2 3 4 4 2 4 1 0 x y x y x xy x y y − + + − + − −=

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

2 2 4 2 4 4 1 0

2 4 2 3

2 1 3

x y x y x x xy y x y

xy x x y x y

xy x x y

⇔ − + + + + − − −=

⇔ − + + − + + =

⇔ − + + − =

Vì ,x y là các số nguyên nên ( ) 2 xy x − và ( ) 2 1 x y + − là các số tự nhiên.

Do đó, ( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2

1 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 1

xy x x y xy x x y x y x y x y

  − = − =      − + + − = ⇔ ⇔   + − = + − + − =    

( )

( ) 2 2 1 1

1 1

x y

x y

− =  ⇔ + …