Đề tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên môn Toán năm 2022 - 2023 sở GDĐT Lào Cai

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LÀO CAI

THCS.TOANMATH.com

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

NĂM HỌC 2022 – 2023

MÔN CHUYÊN: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề thi gồm 01 trang & 06 câu

Ngày thi: 11/06/2022

Lời giải đềtoán vào lớp 10 tỉnh Lào Cai 2022 Điện thoại: 0866855096

Pytago

EDUCATION

TRUNG TÂM TOÁN HỌC PYTAGO

PYTAGO.EDU.VN

LỜI GIẢI THAM KHẢO

ĐỀTOÁN CHUYÊN KỲTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TỈNH LÀO CAI

NĂM HỌC 2022 - 2023

Câu 1 (2,0 điểm).

a) Cho biểu thức P = Å 6x

x −1 − 1 √x −1 − 1 √x + 1

ã · Å 6√x −2 9x√x −6x + √x

ã , với x > 0, x ̸= 1,

x ̸= 1

9. Tìm các sốnguyên x đểP nhận giá trịnguyên.

b) Cho x, y, z là các sốthực dương và thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 12. Chứng minh rằng

x

(12 + y2)(12 + z2)

12 + x2 + y

(12 + x2)(12 + z2)

12 + y2 + z

(12 + x2)(12 + y2)

12 + z2 = 24.

Lời giải.

a) Với x > 0, x ̸= 1, x ̸= 1

9 ta có

P = Å 6x

x −1 − 1 √x −1 − 1 √x + 1

ã · Å 6√x −2 9x√x −6x + √x

ã

= 6x −(√x + 1) −(√x −1)

(√x −1)(√x + 1) · 2(3√x −1) √x.(3√x −1)2

= 6x −√x −1 −√x + 1

(√x −1)(√x + 1) · 2 √x.(3√x −1)

= 6x −2√x (√x −1)(√x + 1) · 2 √x.(3√x −1)

= 2√x(3√x −1) (√x −1)(√x + 1) · 2 √x.(3√x −1)

= 4 (√x −1)(√x + 1) = 4 x −1.

Do x ∈Z nên đểP ∈Z ⇔x −1 ∈Ư(4) = {±1; ±2; ±4}.

Do x > 0 ⇒x −1 > −1 ⇒x −1 ∈{1; 2; 4} ⇒x ∈{2; 3; 5} ( đều thỏa mãn điều kiện).

b) Ta có xy + yz + zx = 12 ⇔12 + x2 = x2 + xy + yz + zx

⇔12 + x2 = x(x + y) + z(x + y) ⇔12 + x2 = (x + y)(x + z).

Tương tựta có 12 + y2 = (y + x)(y + z), 12 + z2 = (z + x)(z + y).

Khi đó x

(12 + y2)(12 + z2)

12 + x2 + y

(12 + x2)(12 + z2)

12 + y2 + z

(12 + x2)(12 + y2)

12 + z2

= x. p

(y + z)2 + y. p

(z + x)2 + z. p

(x + y)2

= x(y + z) + y(z + x) + z.(x + y)

= 2(xy + yz + zx) = 2 · 12 = 24.

□

Z Trung tâm toán học Pytago 1 Đ/c: 095 Kim Sơn, 273 Trần Hưng Đạo

Lời giải đềtoán vào lớp 10 tỉnh Lào Cai 2022 Điện thoại: 0866855096

Câu 2 (0,5 điểm). Gọi S là tập hợp các sốtựnhiên có 4 chữsố. Lấy ngẫu nhiên 1 sốtừtập

S. Tính xác suất đểsốlấy được là sốchính phương không vượt quá 2022.

Lời giải.

Không gian mẫu của phép thửlà: Ω= {1000; 1001; . . . ; 9999}.

Sốphần tửcủa không gian mẫu: n(Ω) = 9999 −1000

1 + 1 = 9000.

Gọi A là biến cố:"Lấy được một sốchính phương không vượt quá 2022".

A = {n2|n ∈N và 1000 ≤n2 ≤2022}.

Vì n2 là sốchính phương nên 322 ≤n2 ≤442.

Sốphần tửcủa biến cốA là: n(A) = 44 −32

1 + 1 = 13.

Xác suất của biến cốA là: P(A) = n(A)

n(Ω) = 13 9000. □

Câu 3 (2,0 điểm).

a) Theo kếhoạch một công nhân phải làm 54 sản phẩm trong một khoảng thời gian dựđịnh.

Do yêu cầu đột xuất, người đó phải làm 68 sản phẩm nên mỗi giờngười đó đã làm tăng thêm

3 sản phẩm vì thếcông việc hoàn thành sớm hơn so với dựđịnh là 20 phút. Hỏi theo dựđịnh

mỗi giờngười đó phải làm bao nhiêu sản phẩm, biết rằng mỗi giờngười đó làm được không

quá 12 sản phẩm.

b) Cho phương trình x2 −(m −1) x + m −3 = 0 (1), (với m là tham số). Tìm m đểphương

trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x2 1 + x2 2 = 5x1x2 + 2√2 −x1x2.

Lời giải.

a) Đổi 20 phút = 1

3 giờ.

Gọi sốsản phẩm mỗi giờngười đó phải làm theo kếhoạch là x (sản phẩm),

điều kiện: x ∈N∗, x ≤12.

Thời gian dựđịnh người đó hoàn thành công việc là: 54

x (giờ).

Thực tếmỗi giờngười đó làm được: x + 3 (sản phẩm).

Thời gian thực tếngười đó hoàn thành công việc là: 68 x + 3 (giờ).

Theo đềbài ta có phương trình: 54

x − 68 x + 3 = 1

3 ⇔54 · 3 · (x + 3) −68 · 3 · x = x · (x + 3)

⇔x2 + 45x −486 = 0

⇔



x = 9 thỏa mãn

x = −54 không thỏa mãn .

Vậy theo kếhoạch mỗi giờngười đó phải làm 9 sản phẩm.

b) x2 −(m −1) x + m −3 = 0 (1)

∆= (m −1)2 −4 (m −3)

= m2 −6m + 13

= (m −3)2 + 4 > 0, ∀m.

⇒Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m.

Z Trung tâm toán học Pytago 2 Đ/c: 095 Kim Sơn, 273 Trần Hưng Đạo