Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2022 - 2023 sở GDĐT Hà Nam

Câu I. (2,0 điểm) Cho biểu thức:

2 3 9 1 : ( 0; 1; 4). 3 2 6 2 3 x x x A x x x x x x x x x

  − − − = + − ≥ ≠ ≠   + − + − + −  

1. Rút gọn biểu thức A. 2. Tìm tất cả các giá trị của x để 2 A > − .

Câu II. (2,0 điểm)

1. Cho đường thẳng ( ) d có phương trình ( ) 2 2 1 y m x m = − + − (với m là tham số) và

điểm ( ) 1;2 A − . Tìm tất cả các giá trị của m để khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ( ) d đạt giá trị lớn nhất.

2. Giải hệ phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 2

2

1 . 1 3

6 3 2 8

x y x y x y x y

x y x x

 − − + + = + − + +  + + + = − + + 

Câu III. (4,0 điểm) Cho tam giác ABC ( ) AB AC < có các góc nhọn nội tiếp đường tròn ( ) ; O R . Các đường cao , , AK BE CF của tam giác ABC cắt nhau tại H và cắt đường tròn ( ) ; O R tại các điểm lần lượt là , , M N P ( M khác A , N khác B , P khác C ). 1. Chứng minh // . EF PN

2. Chứng minh diện tích tứ giác AEOF bằng . . 2 EF R

3. Tính giá trị của biểu thức . AM BN CP AK BE CF + +

4. Gọi S và Q là chân đường vuông góc kẻ từ điểm K đến các cạnh , AB AC . Đường

thẳng QS cắt BC tại G , đường thẳng GA cắt đường tròn ( ) ; O R tại điểm J ( J khác A ). Gọi

I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCQS . Chứng minh ba điểm , , I K J thẳng hàng.

Câu IV. (1,0 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ) ;x y thỏa mãn:

4 3 2 2 6 18 32 4 20 0. x x x y x y − + − − + + = Câu V. (1,0 điểm) Cho ba số thực dương , , a b c thỏa mãn 2 2 2 2 2 0 a b c ab bc ca + + + − − = .

Chứng minh:

2 2 2 2

2 2 2 3 ( ) a b c c ab a b a b c a b + + + + ≥ + + − + .

--- HẾT---

Thí sinh không được sử dụng tài liệu, người coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:…………………………………...Số báo danh:...............................................

Người coi thi số 1:………………………………Người coi thi số 2:……………........................

UBND TỈNH HÀ NAM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

Năm học 2022-2023 Môn: Toán (Đề chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ NAM

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

Năm học: 2022-2023 (Hướng dẫn chấm thi có 05 trang)

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN (ĐỀ CHUYÊN)

Ghi chú:

- Điểm toàn bài không làm tròn.

- Các cách giải khác mà đúng cho điểm tương đương.

Nội dung Điểm Câu 1 (2,0 điểm) . Cho biểu thức:

2 3 9 1 : ( 0; 4; 1). 3 2 6 2 3 x x x A x x x x x x x x x

  − − − = + − ≥ ≠ ≠     + − + − + −  

1. (1,5 điểm) Rút gọn biểu thức A.

( )( )

2 ( 2) ( 3)( 3) 9 1 : ( 3)( 2) 3 1

x x x x A x x x x

− − − + −+ = + − + −

0,5

( )( )

2 ( 2) ( 9) 9 1 : ( 3)( 2) 3 1

x x x x x x x

− − − −+ = + − + −

0,25

( )( )

2 ( 2) 1 : ( 3)( 2) 3 1

x x x x x

− = + − + −

0,25

( ) ( ) 2. 3 . 1 3 x x x x − = + − +

0,25

( )( ) 2 1 3 2 x x x x = − − = − + 0,25

2. ( 0,5 điểm) Tìm tất cả các giá trị của x để 2 A > − .

3 2 2 A x x = − + > − ( 0; 4; 1). x x x ∀≥ ≠ ≠ 2 3 7 3 4 0 0( 0; 4; 1). 2 4 x x x x x x   ⇔ − + > ⇔ − + > ∀≥ ≠ ≠    

0,25

Vậy 2 A > − với 0; 4; 1 x x x ∀≥ ≠ ≠ 0,25 Câu 2 (2,0 điểm). 1. ( 1,0 điểm) Cho đường thẳng ( ) d có phương trình ( ) 2 2 1 y m x m = − + − và điểm ( ) 1;2 A − . Tìm tất

cả các giá trị của m để khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ( ) d đạt giá trị lớn nhất.

Gọi ( ) 0 0 ; M x y là điểm cố định nằm trên đường thẳng d

( ) 0 0 2 2 1 y m x m ⇔ = − + − có nghiệm với m ∀

( ) ( )

( )

0 0 0

0 0

0 0 0

2 2 1 0

2 0 2 2;3 2 1 0 3

m x x y m

x x M x y y

⇔ + − − −= ∀

+ = = −   ⇔ ⇔ ⇒ −   − − −= =  

0,25

Gọi H là hình chiếu của A trên d AH AM ⇒ ≤ Khoảng cách AH lớn nhất là AM khi H M AM d ≡ ⇔ ⊥ 0,25

Phương trình đường thẳng : 1 AM y x = −+ 0,25 ( ) ( ) 2 . 1 1 3. AM d m m ⊥ ⇔ − − = −⇔ = 0,25

2. ( 1,0 điểm) Giải hệ phương trình: ( ) ( ) ( )

( )

2 2 2 2

2 1 . 1 3 1

6 3 2 8 2

x y x y x y x y

x y x x

 − − + + = + − + +  + + + = − + + 