Đề tuyển sinh lớp 10 chuyên môn Toán (chuyên) 2022 - 2023 sở GDĐT Quảng Nam

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG NAM

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 VÀO TRƯỜNG

THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2022-2023

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề gồm có 01 trang)

Môn thi: TOÁN (Chuyên) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Khóa thi ngày: 14-16/6/2022

Câu 1. (2,0 điểm)

a) Không dùng máy tính bỏ túi, hãy rút gọn biểu thức

3 A 507 13 48 25 = + − − .

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ; ) x y thỏa mãn 3 2 3 2 x x y y + = + . Câu 2. (1,0 điểm) Cho parabol 2 (P): 2 y x = và đường thẳng (d): y ax b = + . Tìm các hệ số ,a b biết

rằng (d) đi qua điểm 3 A 1; 2      

và có đúng một điểm chung với (P).

Câu 3. (2,0 điểm)

a) Giải phương trình 2 3 3 2 3 9 6 0 x x x x x − − + − − + = .

b) Giải hệ phương trình

2 2

2 2 4 4 2 4 3

4 2 4 4 3

x y x y xy

x y x y xy

 + + + − =  + + − + = 

.

Câu 4. (2,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O). Dựng đường kính NP của đường tròn (O) vuông góc với BC tại M (P nằm trên cung nhỏ BC). Tia phân giác của  ABC cắt AP tại I.

a) Chứng minh PI = PB. b) Chứng minh   IMB = INA. Câu 5. (2,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC cân tại A và có tâm đường tròn ngoại tiếp là O. Lấy điểm D bên trong tam giác ABC sao cho   BDC = 2BAC (AD không vuông góc với BC). a) Chứng minh bốn điểm B, C, D, O cùng nằm trên một đường tròn. b) Chứng minh OD là đường phân giác ngoài của  BDC và tổng BD + CD bằng hai lần khoảng cách từ A đến đường thẳng OD. Câu 6. (1,0 điểm) Cho ba số thực dương , , x y z thỏa mãn 1. xyz = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2 2 2 2 2 1 1 1 P 4 4 4 x y y z z x = + + + + + + + + .

--------------- HẾT ---------------

* Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. * Họ và tên thí sinh: ………………………………….. Số báo danh: ……........

Trang 1/7

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG NAM

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 VÀO TRƯỜNG

THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2022-2023

HDC CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN (Chuyên) (Hướng dẫn chấm gồm 07 trang)

Câu Nội dung Điểm

Câu 1

(2,0)

a) Không dùng máy tính bỏ túi, hãy rút gọn biểu thức

3 A 507 13 48 25 = + − − 1,0

3 A 13 3 13 4 3 25 = + − − 0,25

2 3 A 13 3 (1 2 3) 25 = + − − 0,25

3 A 15 3 26 = − 0,25

3 3 A ( 3 2) 3 2 = − = − 0,25

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ; ) x y thỏa mãn 3 2 3 2 x x y y + = + 1,0

Ta có: 3 2 3 2 2 2 ( )( ) 0 x x y y x y x y xy x y + = + ⇔ − + + + + = 0,25

2 2 0

0

x y

x y xy x y

− =  ⇔ + + + + = 

- Khi 0 x y x y − = ⇔ = . Khi đó ( ; ) ( ; ) x y m m = (m là số nguyên tùy ý)

0.25

- Khi 2 2 2 2 2 0 ( ) ( 1) ( 1) 2 x y xy x y x y x y + + + + = ⇔ + + + + + = . 0.25

Suy ra trong ba giá trị 2 2 2 ( ) ,( 1) ,( 1) x y x y + + + có một giá trị bằng 0, hai giá trị bằng 1. Giải tìm được: ( ; ) (0;0) x y = , ( ; ) (0; 1) x y = − , ( ; ) ( 1;0) x y = − . Vậy các cặp số thỏa đề là: ( ; ) ( ; ) x y m m = (m là số nguyên tùy ý), ( ; ) (0; 1) x y = − , ( ; ) ( 1;0) x y = − .

0.25

Nhận xét:

2 2 2 2 0 ( 1) 0 x y xy x y x y x y y + + + + = ⇔ + + + + = (*) + Phương trình (*) có nghiệm theo x khi

2 2 0 ( 1) 4( ) 0 ( 1)( 3 1) 0 y y y y y ∆≥ ⇔ + − + ≥ ⇔ + − + ≥ ( ) 1 1 3 y y ⇔−≤ ≤ ∈

1 y ⇔ = − hoặc 0 y = .

0.25

+ Với 0 y = , giải tìm được 0, 1. x x = = − + Với 1 y = −, giải tìm được 0. x = 0.25