Đề khảo sát Toán (chuyên) vào 10 năm 2023 - 2024 trường chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa

SỞ GD & ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI KHẢO SÁT CÁC MÔN THI VÀO LỚP 10

THPT CHUYÊN LAM SƠN

NĂM HỌC 2023 - 2024 Môn thi: Toán (chuyên) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 16/04/2023 Đề thi có: 01 trang gồm 05 câu

Câu 1. (2.0 điểm)

a) Cho các số thực dương ,x y thỏa mãn 2 3 10 x xy   và 2 6 y xy   . Tính 3 A x y   .

b) Cho , , x y z là các số thực dương thỏa mãn   1 xyz x y z   .

Chứng minh     2 2 2 2 2 2 1 1 1 x y z x y y z z x y z x                    

.

Câu 2. (2.0 điểm)

a) Giải phương trình   7 2 3 1 5 2 7 x x x     .

b) Giải hệ phương trình

3 3 2

2

3 3 6 4 0

3 2 3 5 0

x y y x y

x x y x y

              

.

Câu 3. (2.0 điểm)

a) Giải phương trình nghiệm nguyên 5 2024 5 1 y x x   .

b) Cho các số nguyên dương ,x y thỏa mãn 2 2 44 1 x y  . Chứng minh 2 2 y  là số chính phương.

Câu 4. (3.0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có AB AC  nội tiếp đường tròn  O . Phân giác trong của

 BAC cắt BC tại D và cắt  O tại Q   Q A  . Từ D dựng , DE DF lần lượt vuông góc với , AC AB

  , E AC F AB   . Gọi M là trung điểm của BC , tia QM cắt  O tại giao điểm thứ hai là P .

a) Chứng minh . . QM QP QD QA  .

b) Gọi N là giao điểm của PD và EF . Chứng minh MN song song với AD .

c) Dựng đường kính AK của  O . Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác BFN và CEN cắt nhau

tại điểm   R R N  . Chứng minh các điểm , , P D R thẳng hàng.

Câu 5. (1.0 điểm) Xét một bảng ô vuông cỡ 8 8  gồm 64 ô vuông. Chứng minh với mọi cách đánh dấu 7 ô vuông của bảng, ta luôn tìm được một hình chữ nhật gồm 8 ô vuông mà không có ô nào bị đánh dấu.

…………………. Hết ………………….

Họ và tên thí sinh:..................................................Số báo danh:............................................ Chữ ký giám thị 1:………………………………..Chữ ký giám thị 2:……………..............

SỞ GD & ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN KỲ THI KHẢO SÁT CÁC MÔN THI VÀO LỚP 10

THPT CHUYÊN LAM SƠN

NĂM HỌC 2023 - 2024 Môn thi: Toán (chuyên) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 16/04/2023

Đáp án có: 06 trang.

Chú ý: Hướng dẫn chấm này chỉ thực hiện cho lời giải như trên, nếu thí sinh làm bài theo cách khác thì tổ chấm thống nhất phương án chấm thi cho phù hợp và vẫn cho điểm tối đa nếu cách giải đú. Câu Nội dung Điểm

1

(2 điểm)

Câu 1. a) Cho các số thực dương ,x y thỏa mãn 2 3 10 x xy   và 2 6 y xy   . Tính 3 A x y   .

1,0

Hướng dẫn:

Từ giả thiết: 2 3 10 x xy   và 2 6 y xy  

Cho ta:   2 2 3 9 64 x xy y xy     .

 

2 2 2 6 9 64 3 64 x xy y x y       

Mà , 0 x y  nên 3 8 A x y    .

1,0

b) Cho , , x y z là các số thực dương thỏa mãn   1 xyz x y z   . Chứng minh

    2 2 2 2 2 2 1 1 1 x y z x y y z z x y z x                    

.

1,0

Hướng dẫn:

Ta có:

2 2 2

2 2 1 1 x y x y y

  

  2 2

2 x y xyz x y z y     (do giả thiết   1 xyz x y z   )

    

2 xy xy z x y z x z x z y y y

          

0,5

Biến đổi tương tự ta cũng có được:    2

2 1 y x y x z y z z

   

   2

2 1 z y z y x z x x

    . Vậy

         2 2 2 2 2 2 1 1 1 . . x z x z y y x y x z z y z y x x y z y z x y z x                            x y y z z x     .

0,5