Lý thuyết và bài tập chuyên đề hàm số

2

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ

CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ BẬC NHẤT

Nhắc lại kiến thức về hàm số

Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x

ta luôn xác định được chỉ một giá trị số tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x .

Đồ thị của hàm số ( ) y f x  là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương

ứng   ; ( ) x f x trên mặt phẳng tọa độ.

Khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị không đổi thì y được gọi là hàm hằng.

Chẳng hạn 2 y  là một hàm hằng, đồ thị của hàm số này là đường thẳng vuông góc với

trục tung, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 .

Cho hàm số ( ) y f x  xác định với mọi giá trị của x thuộc . Với 1 2 , x x bất kì thuộc :

Nếu 1 2 x x  mà   1 2 f x f x  thì ta nói hàm số đó đồng biến trên ,

Nếu 1 2 x x  mà   1 2 f x f x  thì ta nói hàm số đó nghịch biến trên .

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Cho hàm số 5 3 ( ) 5 f x ax bx cx     ( , , a b c là hằng số).

Cho biết ( 3) 208 f   . Tính (3) f .

Lời giải

Ta có 5 3 ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) 5 f a b c        ;

5 3 (3) .3 .3 .3 5 f a b c    

Nên ( 3) (3) 10 f f    . Do đó 208 (3) 10 f   .

Vậy (3) 10 208 218 f    .

Ví dụ 2. (Trích đề thi HSG huyện Bình Giang năm 2012-2013)

Tìm m để hàm số bậc nhất − + = − − +

2

2 m 2013m 2012 y x 2011 m 2 2m 3

là hàm số nghịch biến.

Lời giải

Để hàm số

2

2 m 2013m 2012 y x 2011 m 2 2m 3 − + = − − +

nghịch biến thì

2

2 m 2013m 2012 0 m 2 2m 3 − + < − +

(1).

( )

2 2 m 2 2m 3 m 2 1 0 m − + = − + > ∀

(1) ( )( ) 2 m 2013m 2012 0 m 1 m 2012 0 ⇔ − + < ⇔ − − <

THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC

3

m 1 0 m 1

m 2012 0 m 2012

m 1 0 m 1

m 2012 0 m 2012

  −> >       − < <     ⇔ ⇔   −< <       − > >      

1 m 2012 ⇒< <

Vậy khi 1 m 2012 < < thì hàm số nghịch biến.

Ví dụ 3. (Trích đề thi HSG tỉnh Lâm Đồng năm 2010-2011)

Cho hàm số y = f(x) = (3m2 – 7m +5) x – 2011 (*) . Chứng minh hàm số (*) luôn đồng biến

trên R với mọi m.

Lời giải

Ta có: 3m2 – 7m + 5 = 3 2 7 5 m m 3 3   − +    

2

2

7 49 60 3 m 6 36 36

7 11 3 m 0 m 6 36

    = − − +          

    = − + > ∀          

Vây f(x) đồng biến trên R với mọi m

Ví dụ 4. Với giá trị nào của m thì hàm số sau là hàm số bậc nhất:

2 3 4m 3 1 a) y x 5 b) y x 2 m 4 2 − = − = − −

Lời giải

a) Để hàm số là hàm số bậc nhất thì:

3 4m 3 0 3 4m 0 m 2 4 − ≠ ⇔ − ≠ ⇔ ≠

Vậy để hàm số là hàm số bậc nhất thì 3 m 4 ≠

b) Để hàm số là hàm số bậc nhất thì m ≠ 2 và m ≠ -2.

CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ Y = AX2

Tóm tắt lý thuyết:

Hàm số y ax    0 a  xác định với mọi số thực x .

Đồ thị của hàm số y ax  là một đường thẳng đi qua gốc toạ độ.

Trên tập hợp số thực, hàm số y ax  đồng biến khi 0 a  , nghịch biến khi 0 a  .

Ví dụ minh họa:

THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC

4

Ví dụ 1. Trên mặt phẳng toạ độ, cho các điểm , , A B C có toạ độ (0;4), (3;4), (3;0) A B C .

Hãy tìm hệ số a sao cho đường thẳng y ax  chia hình chữ nhật OABC thành hai phần,

trong đó diện tích phần chứa điểm A gấp đôi diện tích phần chứa điểm C .

Lời giải

(h.2) Đường thẳng y ax  phải cắt cạnh BC

của hình chữ nhật OABC , gọi giao điểm đó là E có toạ độ

(3;3 ) a .

. 4.3 12 OABC S OAOC    .

1 1 .12 4 3 3 OCE OABC S S    .

8 2. : 2.4 : 3 3 OCE CE S OC    .

Từ 8 3 3 a  được 8 9 a  .

Đường thẳng phải tìm là 8 9 y x  .

Ví dụ 2. Cho hàm số 2 2 2 1 2 1 y x x x x       .

a) Vẽ đồ thị của hàm số.

b) Dùng đồ thị tìm giá trị nhỏ nhất của y , giá trị lớn nhất của y .

Lời giải

a) 2 2 ( 1) ( 1) | 1 | | 1 | y x x x x         . Lập bẳng xét dấu

x 1  1

1 x   0  

1 x    0 

Với 1 x  thì ( 1) (1 ) 2 y x x    .

Với 1 1 x   thì ( 1) (1 ) 2 y x x x      .

Với 1 x  thì ( 1) ( 1) 2 y x x      .

Đồ thì của hàm số được vẽ trên hình 3.

b) Trên đồ thị, ta thấy:

min 2 1 y x  ;

max 2 1 y x   .

THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC