Chuyên đề phương trình bậc hai và ứng dụng hệ thức Vi-ét

THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC

2

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

VÀ ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT

Lời nói đầu 1

Chủ đề 1. Phƣơng trình bậc hai một ẩn 4

1. Kiến thức cần nhớ 4

2. Bài tập vận dụng 5

Dạng 1. Giải phương trình bậc hai một ẩn 5

Dạng 2. Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm 6

Dạng 3. Nghiệm nguyên, nghiệm hữu tỷ của phương trình bậc hai 7

Dạng 4. Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm chung 10

Dạng 5. Chứng minh trong một hệ c{c phương trình bậc 2 có một phương trình

có nghiệm.

13

Dạng 6. Ứng dụng của phương trình bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức

và tìm GTNN và GTLN

Chủ đề 2. Khai thác các ứng dụng của định lý Vi-ét 17

A. Kiến thức cần nhớ 17

B. Các ứng dụng của định lý vi-et 17

Dạng 1: Giải phương trình bậc 2 bằng cách tính nhẩm nghiệm 17

Dạng 2: Tính giá trị biểu thức giữa các nghiệm của phương trình 18

Dạng 3. Tìm hia số khi biết tổng và tích 22

Dạng 4. Phân tích tam thức tam thức bậc hai thành nhân tử 24

Dạng 5. Tìm tham số để phương trình bậc hai có một nghiệm x = x1. Tìm nghiệm

thứ hai

25

Dạng 6. X{c định tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn một hệ điều

kiện cho trước

26

Dạng 7. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm của nó hoặc hai nghiệm

của nó liên quan đến hai nghiệm của một phương trình đã cho

30

Dạng 8. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai, không

phụ thuộc vào tham số.

32

Dạng 9. Chứng minh hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai,

hoặc hai nghiệm của phương trình bậc 2.

34

Dạng 10. Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai, so sách các nghiệm của

phương trình bậc hai với một số cho trước.

37

Dạng 11. Nghiệm chung của hai hay nhiều phương trình, hai phương trình 41

THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC

3

tương đương

Dạng 12. Ứng dụng của hệ thức vi-et các bài toán số học 44

Dạng 13. Ứng dụng của hệ thức vi-et giải phương trình, hệ phương trình 46

Dạng 14. Ứng dụng hệ thức vi-ét chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, tìm

GTLN và GTNN

51

Dạng 15. Vận dụng định lý vi-et vào các bài toán hàm số 54

Dạng 16. Ứng dụng địng lý Vi-ét trong các bài toán hình học 57

Bài tập rèn luyện tổng hợp 60

Hƣớng dẫn giải 68

Bài tập không lời giải 98

THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC

4

CHỦ ĐỀ 1. PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

A/ KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG CẦN NHỚ

1/ Định nghĩa:

Phương trình bậc 2 một ẩn l| phương trình có dạng: 2 0   ax bx c trong đó x l| ẩn, a, b, c

l| c{c hệ số cho trước v| a ≠ 0.

2/ Giải phƣơng trình bậc 2.

2.1 Phương trình bậc 2 khuyết:

- Với c = 0 phương trình có dạng:

  2 0 0 0         

x ax bx x ax c c x a

(a ≠ 0).

- Với b = 0 phương trình có dạng:

 2 2 0 *   c ax c x a

Điều kiện để phương trình có nghiệm l|:

0 0 0       

c c ac a (a v| c tr{i dấu)

Với điều kiện trên ta có:  *  c x a

2.2 Giải phương trình bậc hai một ẩn đầy đủ bằng công thức nghiệm.

Phương trình bậc 2 một ẩn:    2 0 0 1    ax bx c a

Xét biệt số: 2 4 b ac  

+) Nếu 0  phương trình (1) vô nghiệm.

+) Nếu 0  phương trình (1) có nghiệm kép: 1 2 2 b x x a  

+) Nếu 0  phương trình (1) có hai nghiệm ph}n biệt 1 2 ; . 2 2 b b x x a a      

Trường hợp: 2 ' b b  ta có: 2 ' 'b ac   . Khi đó:

+) Nếu ' 0  phương trình (1) vô nghiệm.

+) Nếu ' 0  phương trình (1) có nghiệm kép: 1 2 'b x x a  

+) Nếu 0  phương trình (1) có hai nghiệm ph}n biệt 1 2 ' ' ' ' ; . b b x x a a      