Chuyên đề căn bậc hai, căn thức bậc hai và hằng đẳng thức $sqrt A2 left A right$

1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

CĂN BẬC HAI - CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC 2 A A =

A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM I. Căn bậc hai số học • Căn bậc hai của một số không âm a là số x sao cho 2 x a = • Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau:

Số dương kí hiệu là a , số âm kí hiệu là a −

• Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết 0 0 =

• Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.

• Với hai số không âm a, b, ta có a b a b < ⇔ < II. Căn thức bậc hai

• Với A là một biểu thức đại số, ta gọi A là căn thức bậc hai của A.

• A xác định (hay có nghĩa) khi A ≥ 0.

2 A .A 0 A A A .A 0

≥  = = − < 

B. BÀI MINH HỌA I. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG BÀI TỰ LUẬN Dạng 1. Tìm điều kiện để biểu thức chứa căn có nghĩa Bài 1. Với giá trị nào của x thì mỗi biểu thức sau có nghĩa:

Bài 2. Với giá trị nào của x thì mỗi biểu thức sau có nghĩa:

2 x x x a) x 2 b) x 2 c) x 2 x 2 x 2 x 4 1 4 2 d) e) f ) 3 2x 2x 3 x 1

+ − + − + − − + − − − + +

Bài 3. Với giá trị nào của x thì mỗi biểu thức sau có nghĩa:

2 2 2

2 2 a) x 1 b) 4x 3 c) 9x 6x 1

d) x 2x 1 e) x 5 f ) 2x 1

+ + − +

− + − − + − −

Bài 4. Với giá trị nào của x thì mỗi biểu thức sau có nghĩa:

( )

2 2 2

2 2 a) 4 x b) x 16 c) x 3

d) x 2x 3 e) x x 2 f ) x 5x 6

− − −

− − + − +

Lời giải Bài 1:

2 a)x 0 b)x 2 c)x 3 1 2 1 d)x e)x f )x 3 9 6

≤ ≤ ≤

− ≥ ≥ ≥

Bài 2:

a) 3x b) 4 2x c) 3x 2

d) 3x 1 e) 9x 2 f ) 6x 1

− − − +

+ − −

2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

x a) x 2 x 2 + − −

Điều kiện của biểu thức là x 2 0 x 2 x 2 x 2 0 x 2

− ≥ ≥   ⇔ ⇔ >   − ≠ ≠  

Vậy điều kiện của biểu thức là x 2 > x b) x 2 x 2 + − +

Điều kiện của biểu thức là x 2 0 x 2 x 2 x 2 0 x 2

− ≥ ≥   ⇔ ⇔ ≥   + ≠ ≠−  

Vậy điều kiện của biểu thức là x 2 ≥

c) 2 x x 2 x 4 + − −

Điều kiện 2 x 2 0 x 2 x 2 x 2 x 4 0

− ≥ ≥   ⇔ ⇔ >   ≠± − ≠  

Vậy điều kiện của biểu thức là x 2 >

1 d) 3 2x − dạng A B với A 0 >

⇒ Điều kiện 1 3 0 3 2x 0 x 3 2x 2 ≥ ⇔ − > ⇔ < −

Vậy điều kiện của biểu thức là 3 x 2 <

e) 4 2x 3 + . Dạng A B với A 0 >

⇒ Điều kiện 4 3 0 2x 3 0 x 2x 3 2 ≥ ⇔ + > ⇔ > − +

Vậy điều kiện của biểu thức là 3 x 2 > −

f) 2 x 1 − + dạng A B với A 0 <

⇒ Điều kiện 2 0 x 1 0 x 1 x 1 − ≥ ⇔ + < ⇔ < − +

Vậy điều kiện của biểu thức là x 1 < − Bài 3. a) Vì 2 x 1 0 x + > ∀ . Vậy hàm số luôn xác định x ∀∈ b) Vì 2 4x 3 0 x + > ∀ . Vậy hàm số luôn xác định x ∀∈

c) ( )

2 2 9x 6x 1 3x 1 − + = − . Vì ( ) 2 3x 1 0 x − ≥∀∈

Vậy hàm số xác định với mọi x

d) ( ) ( )

2 2 2 x 2x 1 x 2x 1 x 1 − + −= − − + = − −

Hàm số xác định ( ) 2 x 1 0 x 1 0 x 1 ⇔− − ≥ ⇔ −= ⇔ =

Vậy hàm số xác định khi x 1 =

3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

e) x 5 − +

Điều kiện x 5 0 x 5 0 x 5 − + ≥ ⇔ + = ⇔ = −

f) 2 2x 1 − −

Điều kiện ( ) 2 2 2x 1 2x 1 0 x − −= − + < ∀

Vậy không tồn tại giá trị x để hàm số có nghĩa Bài 4. Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa: a) Điều kiện của biểu thức là 2 2 4 x 0 x 4 2 x 2 − ≥ ⇔ ≤ ⇔−≤ ≤ Vậy điều kiện của biểu thức là 2 x 2 −≤ ≤ b) Điều kiện của biểu thức là 2 2 x 16 0 x 16 x 4 − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ hoặc x 4 ≤− Vậy điều kiện của biểu thức là x 4 ≥ hoặc x 4 ≤−

c) Điều kiện của biểu thức là 2 2 x 3 0 x 3 x 3 − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ hoặc x 3 ≤−

Vậy điều kiện của biểu thức là x 3 ≥ hoặc x 3 ≤−

d) ( )( ) 2

x 1 0 x 1 x 3 x 3 0 x 3 x 2x 3 0 x 1 x 3 0 x 1 0 x 1 x 1 x 3 0 x 3

 + ≥ ≥−   ⇔ ⇔ ≥    − ≥ ≥    − − ≥ ⇔ + − ≥ ⇔ + ≤ ≤−    ⇔ ⇔ ≤−   − ≤ ≤   

Vậy biểu thức xác định khi x 3 ≥ hoặc x 1 ≤−

e) Điều kiện của biểu thức là ( ) x x 2 0 x 2 + ≥ ⇔ ≤− hoặc x 0 ≥

Vậy điều kiện của biểu thức là x 2 ≤− hoặc x 0 ≥

f) Điều kiện của biểu thức là ( )( ) 2 x 5x 6 0 x 2 x 3 0 x 2 − + ≥ ⇔ − − ≥ ⇔ ≤ hoặc x 3 ≥

Vậy điều kiện của biểu thức là x 2 ≤ hoặc x 3 ≥ Dạng 2. Tính giá trị biểu thức Trong các bài toán tính giá trị biểu thức và bài toán rút gọn thường xuất hiện các dạng biểu thức “ẩn” của các hằng đẳng thức. Để tính toán và giải quyết nhanh bài toán, các em cần biến đổi, và sử dụng thành thạo các dạng của các …