Chuyên đề phương trình quy về phương trình bậc hai

1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Phương trình trùng phương

- Phương trình trùng phương là phương trình có dạng:ax4 + bx2 + c - 0 (a ≠ 0).

- Cách giải: Đặt ẩn phụ t = x2 (t > 0) để đưa phương trình vẽ phương trình bậc hai: at2 + bt + c = 0 (a ≠

0).

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức

Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta có các bước giải như sau:

Bước 1. Tìm điều kiện xác định của ẩn của phương trình.

Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu.

Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được ở Bước 2.

Bước 4. So sánh các nghiệm tìm được ở Bước 3 với điều kiện xác định và kết luận.

3. Phương trình đưa về dạng tích

Để giải phương trình đưa vể dạng tích, ta có các bước giải như sau:

Bước 1. Phân tích vế trái thành nhân tử, vế phải bằng 0.

Bước 2. Xét từng nhân tử bằng 0 để tìm nghiệm.

4. Một số dạng khác của phương trình thường gặp

- Phương trình bậc bốn dạng      x a x b x c x d m      với a b c d   

- Phương trình đối xứng bậc bốn có dạng:   4 3 2 0 0 ax bx cx bx a a      

- Phương trình hồi quy có dạng   4 3 2 0 0 ax bx cx dx e a       trong đó

2 e d a b      

- Phương trình bậc bốn dạng     4 4 x a x b c    

- Phương trình phân thức hữu tỉ. Trong phần này chúng ta xét một số dạng sau:

2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

• 2 2 mx nx p ax bx d ax cx d      

•

2 2

2 2 ax mx c ax px c d ax nx c ax qx c          

•

2

2 2 ax mx c px d ax nx c ax qx c        

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. Giải phương trình trùng phương

Phương pháp giải: Xét phương trình trùng phương:

axA + bx2 + c = 0 (a ≠ 0).

Bước 1. Đặt t = x2 (t ≥ 0) ta được phương trình bậc hai:

at2 + bt + c = 0 (a ≠ 0)

Bước 2. Giải phương trình bậc hai ẩn t từ đó ta tìm được các nghiệm của phương trình trùng phương đã

cho.

1.1. Giải các phương trình sau:

a) x 4 + 5x2 -6 = 0; b) (x + 1)4 - 5(x + 1)2 -84 = 0.

1.2.Giải các phương trình sau:

a) 2x4 + 7x2 + 5 = 0; b) 4x4 + 8x2 - 12 = 0;

Dạng 2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức

Phương pháp giải: Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta có các bước giải như sau:

Bước 1. Tìm điều kiện xác định của ẩn.

Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu.

Bước 3. Giải phương trình bậc hai nhận được ở Bước 2.

Bước 4. So sánh các nghiệm tìm được ở Bước 3 với điều kiện xác định và kết luận.

2.1. Giải các phương trình sau:

a) 2x 5 3x ; 1 2 x x    

3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

b) 5 3 5 3 ; 3 5 3 5 x x x x       

c) 1 1 1 3 : 1 . 1 1 1 14 x x x x x x x                   

2.2. Giải các phương trình sau:

a) 2x 1 3x 1 7 3; 1 5 1 x x x x         

b)

2

2 3x 5 1 ; 6 3 x x x x      

c) 2 2x 5 5 ; 2 3 5x 6 x x x      

Dạng 3. Phương trình đưa về dạng tích

Phương pháp giải: Để giải phương trình đưa về dạng tích, ta có các bước giải như sau:

Bước 1. Chuyên vế và phân tích vế trái thành nhân tử, vế phải bằng 0.

Bước 2. Xét từng nhân tử bằng 0 để tìm nghiệm.

3.1. Giải các phương trình sau:

a) x3- 3x2 - 3x - 4 = 0;

b) (x - 1)3 + x3 + (x + 1)3 - (x + 2)3 = 0;

3.2. Giải các phương trình sau:

a) 2x3 -7x2 + 4x + 1 = 0;

b) (x2 + 2x - 5)2 = (x2 - x + 5)2.

Dạng 4. Giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Phương pháp giải:

Bước 1. Đặt điều kiện xác định (nếu có);

Bước 2. Đặt ẩn phụ, đặt điểu kiện của ẩn phụ (nếu có) và giả phương trình theo ẩn mới;

Bước 3. Tìm nghiệm ban đầu và so sánh với điều kiện xác địnl và kết luận.

4.1. Giải các phương trình sau: